湖南师大附中2017-2018学年高三摸底考试
数 学(文科)
得分：______________
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{2，3，4}，N＝{4，5}，则(?UM)∪N＝ A.{1} B.{1，5} C.{4，5} D.{1，4，5} －
2．若复数z满足z＋2－3i＝－1＋5i，则z＝ A．3－8i B．－3－8i C．3＋8i D．－3＋8i
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
1123A. B. C. D. 3234
π
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝6，A＝，则角
3
B等于
A.C.
π3π B. 44
π3π
或 D．以上都不对 44
2
5．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点， 若→
AF＝2FB，则|k|＝
A．22 B.3 C.
23
D. 43
→
π???π?6．要得到函数y＝cos?2x－?的图象，只需将函数y＝sin?＋2x?的图象
3???2?ππ
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
33ππ
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
66
7．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是
A．24π B．24π＋82π C．24π＋42π D．32π
1－1?1?3，c＝log1，则下列关系中正确的是
8．设a＝7－，b＝??7
22?7?A．c
13
10．运行下图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是
7
A．k>5 B．k>6 C．k>7 D．k>8
11．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为
1111A. B．－ C. D．－ 4422
ππ
12．已知a，b∈R，直线y＝ax＋b＋与函数f(x)＝tan x的图象在x＝－处相切，24设g(x)＝e＋bx＋a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g(x)≤m－2恒成立，则实数m
x2
2
A．有最大值e B．有最大值e＋1 C．有最小值－e D．有最小值e
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
13．已知向量a＝(－1，1)，向量b＝(3，t)，若b∥(a＋b)，则t＝________． 14．若sin?
?π－α
?6?＝1，则cos?2π＋2α?3?3??
?＝________．
??
2
2
15．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)＋(y＋2)＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．
x－y＋2≥0??
16．若不等式组?x－5y＋10≤0所表示的平面区域内存在点(x0，y0)，使x0＋ay0＋2≤0成
??x＋y－8≤0
立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1). (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn.
18.(本小题满分12分)
某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．
(1)求分数在 【解析】如下图所示阴影部分为不等式组所表示的平面区域：
当a>0时，不等式x0＋ay0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l1下方部分，显然不符合题意；当a<0时，不等式x0＋ay0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l2上方部分，要使不等式组所表示的平面区域存在点(x0，y0)使x0＋ay0＋2≤0成立，则不等式所表示直线斜率必须满足1
－≤kBD＝1即a≤－1，故应填入(－∞，－1]．
a三、解答题
17．【解析】(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，an＋1
＝3an(n≥2)，(3分)
又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列． ∴an＝3
n－1
.(7分)
nn1×（1－3）31(2) Sn＝＝－.(12分)
1－322
18．【解析】(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)
2
由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25.(4分)
0.08(2)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；
3
频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为÷10＝0.012.(7分)
25
(3)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，
b2，
在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，
(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，(10分) 其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个， 7
故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是.(12分)
1019．【解析】(1)取CE的中点P，连结FP、BP. 1
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.
21
又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，
2∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP. 又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF∥平面BCE.(4分)
(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF. 又AF⊥CD，CD∩DE＝D，
∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE. 又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(8分)
(3)法一：由(2)，以F为坐标原点，
AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴(如图)
建立空间直角坐标系F－xyz.设AC＝2，
则C(0，－1，0)，B(－3，0，1)，E(0，1，2)． 设n＝(x，y，z)为平面BCE的法向量，
?－3x＋y＋z＝0→→
∴n·CB＝0，n·CE＝0，∴?，令z＝1，则n＝(0，－1，1)
?2y＋2z＝0
显然，m＝(0，0，1)为平面ACD的法向量． 设面BCE与面ACD所成锐二面角为α， |m·n|12
则cos α＝＝＝.∴α＝45°.
|m|·|n|22
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为45°.(12分)