《数学模型》作业解答
第一章（2008年9月9日）
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角?表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为f(?);C、D与地面距离之和记为
g(?).并旋转1800.于是，设f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.
数学模型：设f???、g???是?0,2??上?的非负连续函数.若????0,2??,有
f???g????0,且g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使f??0??g??0??0.
模型求解:令h(?)?f(?)?g(?) .就有h(0)?0, h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.再由f???,g???的连续性,得到h???是一个连续函数. 从而h???是?0,??上的连续函数.由连续函数的介值定理：??0??0,??,使h??0??0.即??0??0,??,使
f??0??g??0??0.
又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与
xm?x(t)成正比（其中xm为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模
型、阻滞增长模型的结果比较.
解：现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x?t?（一般x?t?是很大的整数）,且设x?t?为连续可微函数.又设x?t?|t?0?x0.任给时刻t及时间增量?t,因为单位时间内人口增长量与xm?x(t)成正比, 假设其比例系数为常数r.则t到t??t内人口的增量为：
x?t??t??x?t??r(xm?x?t?)?t. 两边除以?t,并令?t?0,得到
?dx??r(xm?x)?rt 解为x(t)?xm?(xm?x0)e ?dt??x(0)?x0
如图实线所示，
x 指数模型 当t充分大时 xm 它与Logistic模型相近.
x0 Logistic模型 o t
9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面 或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：
（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？
（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？
（3） 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻 不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
（4） 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的 妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常 提前了10分钟.问他步行了多长时间？
（5） 一男孩和一女孩分别在离家2 km和1 km且方向相反的两所学校上学，每天 同时放学后分别以4 km/h和2 km/h的速度步行回家.一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何
处？
解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点p0(t0,d0),
两天都在t0时刻经过d0地点. x d
方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0 时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??) t
早8 t0 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0).由题意知：f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮.
（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……
（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.
（5）放学时小狗奔跑了3 km.孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是
由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.
10*. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？
答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从乙地到甲地的路函数为g(t),并设甲地到乙地的距离为a(a>0).由题意知：f(9)?0,f(18)?a,g(9)?a,g(18)?0. 令
h(t)?f(t)?g(t),则有h(9)?f(9)?g(9)??a?0，
h(18)?f(18)?g(18)?a?0由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间
t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[9,18],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0). 若第
二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为h(9)?f(9)?g(9)??a?0，
h(16)?f(16)?g(16)?f(16)?0.
（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.
《数学模型》作业解答
第二章(1)（2008年9月16日）
1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
A B C
1 2 3 4 5 235 117.5 78.3 58.75 ? 333 166.5 111 83.25 ? 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
p1?235, p2?333, p3?432, 方法一（按比例分配）
?pi?13i?1000.
q1?p1N?pi?13?2.35, q2?p2Ni?pi?13?3.33, q3?p3Ni?pi?13?4.32
i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?2, n2?3, n3?4
第10个席位：计算Q值为
235233324322Q1??9204.17, Q2??9240.75, Q3??9331.2
2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5
方法三（d’Hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2, n2?3, n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.
pi是ni