同理可证必要性.定理3证毕.
推论 1 A为半正定的充分必要条件是其任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0.
显然，当该非奇异主子矩阵的阶数就是n时，则A为正定的。我们看到，定理3包含了定理2的前一部分，发展了其后一部分。
推论 2 A为半负定的充分必要条件是一A的任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0.
由以上推论，在判定A之定性时，并不需要计算所有2n?1个主子式，因此在计算机运算或手算中，均可减少运算程序。
?1?1例 A???1??2122312232??3? 2??7??1 有A=0 而 A??12214??=14?21112123?13?0 .以下只需计算A??172224??4?的主要主
子式。有D1?1?0,D2??0 .?A为半正定矩阵。
7 实对称矩阵的一个简单应用
在实际问题中，经常会遇到求三元以上函数的极值问题?7?，对此可有二次型的正定性加以解决。
定义 1 设n元函数f?X??f?x1,?,xn?在X??x1,?,xn??Rn的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。记?f?X??????f?X??x1T?,?f?X?x2?,?,?f?X???，?xn???f?X?称为函数f?X?在点X??x1,x2,?,xn?处的梯度。
T定义 2 满足?f?x0??0的点x0称为函数f?X?的驻点.
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??2f?X定义 3 H?X?????xxij??????n?n??2f?X?2?x1?2??f?X???xx21??2???f?X??xxn1?????f?X2????x1x2?f?X2?????x?2?f?X?xnx2222?f?X????x1xn?2?f?X???x2xn?
???2?f?X??2?xn??称为函数f?X?在点X??x1,x2,?,xn?在点X?Rn处得黑塞矩阵。显然H?X?是由f?X?的n2个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。
定理 1 ?极值存在的必要条件?设函数f?X?在点X0?x1,x2,?,xn?000T?处存
在一阶偏导数，且X0为该函数的极值点，则?f?X0??0
定理 2 ?极值的充分条件X0?设函数设n元函数f?X??f?x1,?,xn?在
?Rn的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。且
,?f?X0??x2,??f?X0????0 ,?xn????f?X0??f?X0?????x1?则：?1?当H?X0?为正定矩阵时，f?X0?为f?X?的极小值；
?2?当H?X0?为负定矩阵时，f?X0?为f?X?的极大值； ?3?当H?X0?为不定矩阵时，f?X0?不为f?X?的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，结论就不一定成立。
例 求三元函数f?x,y,z??x2?2y2?3z2?2x?4y?6z的极值.
?fx?2x?2?0?解 先求驻点，由?fy?4y?4?0 得x??1，y??1，z?1
??fz?6z?6?0所以驻点为p0??1,?1,1?.再求黑塞矩阵
因为fxx?2，fxy?0，fxz?0，fyy?4，fyz?0，fzz?6.
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?20所以 H?????00400??0,可知H是正定的，所以f?x,y,z?在p0??1,?1,1?点取得极小?6??值：f??1,?1,1???6.
当然，此题也可以用初等方法f?x,y,z???x?1?2?2?y?1?2?3?z?1?2?6 求得极小值?6，结果一样.
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参考文献
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致谢
时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！
首先，衷心感谢我的指导老师曹春娟老师对我的悉心教诲和指导！在跟随曹老师的这段时间里，我不仅跟曹老师学到了许多专业知识，同时也学习到了她严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对曹老师的教育和指导表示衷心的感谢！
同时我还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！
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