2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（理工农医类）
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 已知集合M={x|-3 (A) {x|-5 552551z= 5525515251525（A）?i （B）?i （C）?i （D）?i 3. 平面向量a与b的夹角为600，a?(2,0)，b?1 则a?2b? （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 4. 已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 （A）(x?1)2?(y?1)2?2 (B) (x?1)2?(y?1)2?2 (C) (x?1)2?(y?1)2?2 (D) (x?1)2?(y?1)2?2 5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 6. 设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若 73S6S3=3 ，则 83S9S6 = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A） 2 （B） 7. 曲线y= xx?2 （C） （D）3 在点（1，-1）处的切线方程为 （A）y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 ?28. 已知函数f(x)=Acos(?x??)的图象如图所示，f()??，则f(0)= 23（A）? 23 (B) 23 (C)- 12 (D) 12 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. 已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 31（A）（ 13， 23） (B) ［ 13， 23） (C)（ 12， 23） (D) ［ 12， 23） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 1 - 10. 某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据a1，a2，。。。aN，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中 空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11. 正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 12. 若x1满足2x+2x=5, x2满足2x+2log2(x-1)=5, x1+x2= （A） 52 (B)3 (C) 72 (D)4 13. 某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法 （每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结 果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件 产品的使用寿命的平均值为 h. 14. 等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5,则a4? . 15. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 m 16. 以知F是双曲线 _________. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x24?y212?1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PF?PA的最小值为 - 2 - 17.（本小题满分12分） 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为750，300，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离. （计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449） 18.（本小题满分12分） 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.（本小题满分12分） 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面 31积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； （Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） 20.（本小题满分12分） 已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为（-1，0），（1，0）。 23(1) 求椭圆C的方程； (2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为 .w.ww.k.s.5.u.c.o.m 定值，并求出这个定值。 21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)= 12x2-ax+(a-1)lnx，a?1。 f(x1)?f(x2)x1?x2（1）讨论函数f(x)的单调性； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若a?5，则对任意x1，x2?(0,??)，x1?x2，有 ??1。 - 3 - 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知?ABC中，AB=AC, D是 ?ABC外接圆劣弧?，延长BD至E。 AC上的点（不与点A,C重合）(1) 求证：AD的延长线平分?CDE； (2) 若?BAC=30，?ABC中BC边上的高为2+3，求?ABC外接圆的面积。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以0为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为?cos（??=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。 （1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?|x?1|?|x?a|。 (1) 若a??1,解不等式f(x)?3； （2）如果?x?R,f(x)?2,求a 的取值范围。 ?3） .w.ww.k.s.5.u.c.o.m （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 参考答案 (1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) 1 (15) 4 (16)9 3 17.解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在△ABC中， ACsin60sin15??ABsin?BCA?ACsin?ABC, 即AB= ?32?206,因此，BD= 32?206?0.33km。故B，D的距离约为0.33km。 18.解：（I）取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG= 2.因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF， - 4 - 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。∵MN= 6，∴sin∠MNG= 63为MN与平面DCEF所成角的正弦值. 解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(-1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(MN,DA)=MN?DA||MN||DA|63??· 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos MN,DA?63· (Ⅱ)假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN,由已知，两正方形不共面，故AB?平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 19.解：（Ⅰ）依题意X的分列为 （Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，A?A1B1?A1B1?A1B1?A2B2, 所求的概率为P(A)?P(A1B1)?P(A1B1)?P（A1B1）?P(A2B2) P(A1B1)?P(A1)P(B1)?P（A1)P(B1)?P(A2)P(B2)=0.1?0.9?0.9?0.1?0.1?0.1?0.3?0.3?0.28. 20.解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 x211?b2?94b2?1，解得b?3，b??2234（舍去） 所以椭圆方程为 4?y23?1。 （Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?2232，代入 x24?y23?1得 (3?4k)x?4k(3?2k)x?4(32?k)?12?0. 2 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，∴xF?234(3223?4k?k)?122,yE?kxE?32?k, - 5 -