滁州学院本科毕业论文
?01??01???????????1??1? A?TT?TJT， J?????1??1?????00????由AB?BA，知A*?T*J*(T*)?1，显然J*的特征值全为零， 所以A是幂零矩阵。又
*****(An)k?(Ak)n?0n?0
所以An(n?N)是幂零矩阵；因为
(mA)k?(m)kAk?(m)k?0?0
所以mA(m?Z?)也为幂零矩阵。
性质3.幂零矩阵的相似阵是幂零矩阵。
证明:令A是幂零矩阵，?k?Z? 使得Ak?0，令B是A的相似矩阵，则存在可逆阵
T，使得B?T?1AT，有Bk?(T?1AT)k?T?1AkT?0．即B也是幂零矩阵。
性质4.设A,B为n阶幂零矩阵，若AB?BA，则A?B，AB为幂零矩阵。 证明:A,B为n阶幂零矩阵，令k1,k2分别为它们的幂零指数,取m?k1?k2。 由AB?BA，有
km?kk(A?B)??痧B?Am?mAmk?0m1mm?1Am?1B???mABm?1?Bm
当k?k2时，m?k?k1，从而Am?kkm?kk?0，得到emAB?0
kkm?kk当k?k2时，显然有B?0，得到emAB?0
m所以(A?B)?0，即A+B是幂零矩阵。取m?max{k1,k2}，因为 AB?BA ，有
(AB)m?AmBm?0
即AB也是幂零矩阵。
性质5.数域F上的所有指数为n?1的n?n幂零矩阵彼此相似。
证明：设A是数域F上的n?n幂零矩阵，其指数是n-1，则An?1?0。
r当0?r?n?1时，A?0,所以A的最小多项式是dn(?)??n?1。故而，特征矩阵?E?A的不变
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因子为d1(?)?dn?2(?)?1，dn?1(?)??，dn(?)??n?1．由A的任意性得知，所有指数为n?1的
n?n幂零矩阵的特征矩阵的不变因子是一致的，即数域F上的所有指数为n?1的n?n幂零矩阵彼
此相似。
3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件
性质6.A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。
证明：（必要性）A为幂零矩阵， 存在k?Z? 使得Ak?0，设?为A的任一特征值，则存在n维列向量X?0，有AX??X．即
AkX?Ak?1(AX)?Ak?1(?X)??Ak?1X????kX
kkk 由A?0，所以?X?0。又由X?0 知??0，得??0，即A的特征值为0。
（充分性）由A的特征值全为0知，A的特征多项式为f(?)??E?A??n，由引理3得，
f(A)?An?0
所以A为幂零矩阵。
性质7.A为幂零矩阵的充分必要条件是对于任何正整数k，迹Tr(Ak)?0。
证明：（必要性）由A是幂零矩阵知，A的特征值全为0。从而对于任何正整数k，A的特征值也全为0，有
kTr(Ak)??1k??2k????nk?0
（充分性）令A的特征值为?1,?2,?,?n，则A的特征值为?1k,?2k,?,?nk，k?Z?，则
kTr(Ak)??1k??2k????nk
假设A有不为0的特征值，设?1k,?2k,?,?sk为其中的互异的特征值，c1,c2,?,cs为相应的重数，有Tr(Ak)?c1?1k?c2?2k???cs?sk?0，k?Z?；将上式视为关于变量c1,c2,?,cs的其次线性方程组，由于
kB??1?2??s?12?22??s2????1??1?2??s1???1?1??2??s?
?1s?2s??ss1?j?i?s?1s?1?2s?1??ss?1??1?2??s?(?i??j)?0
知ci?0，i?[1,s]．与假设矛盾，故A的特征值全为0，即A为幂零矩阵。
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3.3 幂零矩阵和若尔当块
性质8.n阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数。
证明：令A为n阶幂零矩阵，由引理5知，存在可逆矩阵T ，使得
?J1??1TAT?????J2??????Js?
?0???1??阶数为n(i?1,2,?,s)．且 其中Ji??i??????10??2,(Ji)ni?0 1?ni?n(i?1,?取k?max(n1,n2,??,ns)，则k?n且有
)s,?J1?Ak?(T????J2?J1k????T?1)k?T???????Js??J2k???T?1 ???k?Js??T0T?1?0 (3?1)
k即A?0。
若令k0为A的幂零指数，则k0?k?n A0?0。 若k0?k，则?i0ks.tni0?k0 且Ji0k0?0，由(3?1)式，得
J2?J1k0????T?1)k0?T???????Js??J2k0???T?1?0 ???Jsk0???J1?k0A?(T????k这与A0?0矛盾。 故 k0?k?n。
性质9.若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0。
证明：A为幂零矩阵，由性质6，知A的特征值全为0。由引理5知，在复数域上，存在可逆 矩阵T，使得
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?J1?T?1AT?????J2??????Js?
??i???1??阶数为n(i?1,2,?,s)，由引理6知，?(i?1,2,?,s)为J和特征值，其中Ji??ii??????1?i??又A与J相似，由引理2知A与J有相同的特征值，所以?i?0(i?1,2,?,s)。 即J的主对角线上的元素全为0．由引理7知
(Ji?0?E)ni?(Ji)ni?0(i?1,2,?,s)
J1,J2,??,Js为幂零矩阵。
3.4 幂零矩阵的其他性质
性质10.相似于对角形矩阵的幂零矩阵是零矩阵。
证明：令A是幂零矩阵、B是对角形矩阵，?k?Z? 使得Ak?0， 设A与B相似，令
?b10?0b2B???????00?10??b1n??0?? 得 Bn??0????????bn???0?0b2n?00???0?
?????bnn???n则存在逆矩阵T，使A?TBT，有性质3知，B?0 所以bin?0,i?1,2,?n故 B?0得知
A?0．由性质6可推出 ：对角形的幂零矩阵为零矩阵。
性质11.设A为非零的幂零矩阵，且k是A的幂零指数，则E,A,A2,?,Ak?1线性无关。 证明：反证法 假设E,A,A,?,A2k?1线性相关，则存在一组不全为零的数c0,c1,?,ck?1， 使
c0E?c1A???ck?1Ak?1?0，
两边同时右乘Ak?1，得c0Ak?1?0，而 Ak?1?0 得知c0?0；两边同时右乘Ak?2，得
c0Ak?2?c1Ak?1?0
而Ak?1?0，c0?0得知c1?0；依次下去可得，c0?c1???ck?1?0，与假设矛盾。所以
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E,A,A2,?,Ak?1线性无关。
性质12.若A?E为幂零矩阵，则A非退化。
证明：令?1,?2,??,?n为A的特征值.若A退化，则有A?0.由引理4得,
A??1?2?????n?0
至少存在λi=0为A的特征值,又由引理4得, ?i0?1?1?0为A?E的一特征值。
0这与A?E为幂零矩阵矛盾。 即A为非退化。
性质13.若A为幂零矩阵且A?0，则A不可对角化。
k证明：A为幂零矩阵，存在k?Z?使得A?0且A的特征值全为0，f(?)??E?A??n为
A的特征多项式且f(A)?An?0。令mA(?)为A的最小多项式，则有mA(?)|f(?), 从而有
mA(?)??k0(1?k0?n)。由于A?0，所以k0?1又此时mA(?)??k0k0?2。即A的最小多
项式有重根，所以A不可对角化。
因为B为n阶方阵，由引理5，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得
?J1??1TBT?????J2??????Js?
??i???i???1??，阶数为n(i?1,2,?,s).令D??其中Ji??ii????????1?i????i???，阶数为????i??0???1??阶数为n(i?1,2,?,s)。 由引理7知, ni(i?1,2,?,s).则有Ji??Ji?Di??i??????10??(Ji??0?Eni)ni?(Ji?)ni?0
即Ji?为幂零矩阵(i?1,2,?,s)。令
?J??1??J?????????J2?????Js????D1? ，D?????9
D2??????Ds?