2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）P(BA)?P(AB)P(A)，其中A,B为两个事件，且P(A)?0，
（2）柱体体积公式V?Sh，其中S为底面面积，h为高。 （3）球的体积公式V?项符合题目要求的。
1.若a,b?R，i为虚数单位，且(a?i)i?b?i，则（ ）
A．a?1,b?1 B．a??1,b?1 C．a??1,b??1 D．a?1,b??1 答案：D
解析：因(a?i)i??1?ai?b?i，根据复数相等的条件可知a?1,b??1。
2.设M?{1,2}，N?{a2}，则“a?1”是“N?M”则（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A
解析：因“a?1”，即N?{1}，满足“N?M”，反之
22“N?M”，则N?{a}={1}，或N?{a}={2}，不
43?R，其中R为求的半径。
3一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
3 2 3 正视图
侧视图
一定有“a?1”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．
92??12 B．??18
29俯视图 图1
C．9??42 D．36??18 答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积
V?43?（）+3?3?2=23392??18。
1
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 爱好 不爱好 总计 由K?附表：
P(Kk 2男 40 20 60 n(ad?bc)2女 20 30 50 算得K?2总计 60 50 110 110?(40?30?20?20)60?50?60?5022(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)?7.8
?k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C 解析：由KC. 5.设双曲线
xa222?7.8?6.635，而P(K2，故由独立性检验的意义可知选?6.635)?0.010?y29?1(a?0)的渐近线方程为3x?2y?0，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y??6. 由直线x??123ax，故可知a?2。
?3,x??3,y?0与曲线y?cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C．
32 D．3 答案：D
?3?解析：由定积分知识可得S???cosxdx?sinx|3???332?(?32)?3，故选D。
?3?y?x?7. 设m?1，在约束条件?y?mx下，目标函数z?x?my的最大值小于2，则m的取值
?x?y?1?范围为（ ）
2
A．(1,1?答案：A
2) B．(1?2,??) C．(1,3) D．(3,??)
解析：画出可行域，可知z?x?5y在点(11?m1?m,m)取最大值，由
11?m?m21?m?2解
得1?m?2?1。
8.设直线x?t与函数f(x)?x2,g(x)?lnx的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A．1 B．答案：D
解析：由题|MN|?x2?lnx，(x?0)不妨令h(x)?x2?lnx，则h'(x)?2x?2222221x12 C．52 D．
22
，令
h'(x)?0解得x?，因x?(0,)时，h'(x)?0，当x?(,??)时，h'(x)?0，
所以当x?22时，|MN|达到最小。即t?22。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系xoy中，曲线
?x?cos?,C1的参数方程为??y?1?sin?（?为参数）在极坐
标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为??cos??sin???1?0，则C1与C2的交点个数为 。 答案：2
解析：曲线C1:x2?(y?1)2?1，C2:x?y?1?0，由圆心到直线的距离
d?|0?1?1|2?0?1，故C1与C2的交点个数为2.
10.设x,y?R,则(x2?
1y)(21x2?4y)的最小值为 。
23
答案：9
解析：由柯西不等式可知(x2?1122y2)(x2?4y)?(1?2)?9。
11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC?4，
AD?BC,垂足为D, BE与AD相交与点F，则AF的长为 。
答案：233 解析：由题可知，?AOB??EOC?60?，OA?OB?2,得OD?BD?1,DF?33，
又AD2?BD?CD?3，所以AF?AD?DF?233.
二、必做题（12~16题）
12、设Sa*n是等差数列{n}(n?N)的前n项和，且a1?1,a4?7，则S5?______
答案：25
解析：由a(1?9)?51?1,a4?7可得a1?1,d?2,an?2n?1，所以S5?2?25。
13、若执行如图3所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?3,x?2，则输出的数等于 。 答案：
23
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 2则S?(1?2)?(2?2)2?(3?2)23?23。
14、在边长为1的正三角形ABC中，设???BC??2???BD?,???CA??3???CE?，则????????AD?BE?________。
答案：?14
????????????1????????????????????AD?CD?CA?2CB?CA，BE?CE?CB?1????????解析：由题3CA?CB，
?????????????????所以
D?BE?(1???2CB?CA)?(1?????????A117???13CA?CB)??2?3?6CB?CA??4。 4
15、如图4， EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 （1）P（2）P（B|A）=______ （A）=______；答案：（1）
2?；（2）P（B|A）=14
S正S圆2（A）=解析：（1）由几何概型概率计算公式可得P=??； 12（2）由条件概率的计算公式可得P（B|A）=P（AB）?41==。
2P（A）4?
16、对于n?N*，将n表示为n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2???ak?1?21?ak?20，当i?0时，ai?1，当1?i?k时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数，（例如1?1?20，4?1?22?0?21?0?20：故I(1)?0,I(4)?2）则 （1）I(12)?_____ （2）?2I(n)?______
n?1127答案：（1）2；（2）1093
解析：（1）因12?1?2+1?2?0?2?0?2，故I(12)?2；
（2）在2进制的k(k?2)位数中，没有0的有1个，有1个0的有Ck?1个，有2个0的
2mk?1有Ck?1个，??有m个0的有Ck?1个，??有k?1个0的有Ck?1?1个。故对所有2进制
13210为k位数的数n，在所求式中的2I(n)的和为：
1?2?Ck?1?2?Ck?1?2???Ck?1?201122k?1k?1?3k?1。
7I(n)127又127?2?1恰为2进制的最大7位数，所以?2n?17?2?0?3k?2k?1?1093。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
csinA?acosC.
5