?0?y?a?0?x?a?0?x?a 其中D? 设D1?，D2?
y?x?a0?y?ax?y?a??? 则
??f(x)f(y)d?=??f(x)f(y)d?+??f(x)f(y)d?
DD1D2 =即2?a0a0f(x)dx?f(y)dy+?f(y)dy?f(x)dx=2?f(x)dx?f(y)dy
x0y0xaax0aaaaa?f(x)dx?f(y)dy=(?f(x)dx)2
u??unx2n2x23、因为e??，???u???, 令u?x得：e??
n?0n!n?0n! 所以xe2x2x2(n?1)，???u??? ??n!n?0?四、因为
?zy?2xf?x2(2)f??2xf?yf? ?x?xy?2z11所以?2x?f??f??yf???=f??f??
x?x?yxx五、因为an?ln(1?n1)?ln(n?1)?lnn n而Sn??ln(1?i)?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)????(ln(n?1)?lnn)
i?11=ln(n?1)
所以limSn???，即该级数发散。
n??六、由Gauss公式有：
?22I????(z?x?y)dxdydz??2d??rdr?(r2?z)dz?V1r2000315???rdr? 408七、设(x0,y0,z0)为椭球面第一象限部分上的点，则该点处切平面方程为
4x0x?y0y?z0z?4
于是所研究的立体体积为： V?
8?V，其中V为椭球体4x2?y2?z2?4的在第一象限部分上的体积，
3x0y0z0169
它是一个定常数，故只要求x0,y0,z0的最大值。 令F(x,y,z)?xyz??(4x2?y2?z2?4)
?Fx?yz?8x??0?F?xz?2y??0?y则?
F?xy?2z??0?z?4x2?y2?z2?4?由前三式可得4x2?y2?z2，代入第四式即可得唯一解： x0?13，y0?23，z0?23,232?0
由于体积的最小值存在，故点(13,23a0)为所求点。
八、面积A???Dx?y?1dxdy=?22d??2?[(a2?1)2?1] 1?rrdr=323九、设摆线方程为y?f(x)
2?a0f(x)0I??dx?12?a3a4ydy=?0f(x)dx=
332?2?0(1?cost)4dt=
354?a 12十、由(0,0,0)到平面x?y?z?3a3的距离为a 22a3a2a圆P的半径为r?a??，周长为l?2????a
2422在P上2yz?2zx?2xy?(x?y?z)?a?所以
22925a?a2?a2 44?P(2xy?2yz?2zx)ds?525a(?a)??a3 44高等数学（下册）考试试卷（十五）参考答案
一、1、不存在； 2、s(x)?cosx； 3、2e(dx?dy)；
170
?P(x)dxP(x)dx1534、y?e?； (Q(x)e?dx?c)； 5、??6二、1、D； 2、B； 3、C； 4、D； 5、A 三、1、
?z1?y?zx1?yf1??f2??g?(2)，?xf1??2f2??2g? ?xy?yxyxxzyzdy?ydzzdx?xdzz2 、等式两端求微分得：e?e??0 ?22zzzexzxzyz于是dz?dx?zexzyzyzdy,所以zx?zexzxzyz，zy?zexzyzyz
xe?ye2xe?ye2xe?yexe?ye3、令F?x?2y?3z?21，则曲面上点M(x0,y0,z0)处的切向量为 n?(2x0,4y0,6z0)
22x04y06z0????t 于是由题设条件得：146 所以x0?t0,y0?t0,z0?t0 2222 由()?2t?3t?21得t??2
t2 故切平面方程为：(x?1)?4(y?2)?6(z?12)?0 即
x??21yz??1 2121??46121212131029?? 从而所求的立体体积为V??21?? ??14416646四、1、I??2?0115d??d??(x??)?d??2???0?[(1??2)4??8]d???
00421123222、投影域为Dxy?(x,y)x?y?ax
?? 171
所以A???ds??x2?y2?ax2??aa?x?y222??dxdy极坐标?2?d??02acos?a?a??22d?
（??2）a ?3、由Gauss公式得：
I?x2?y2?z2?R2???(3x2?3y2?1y?f?f?)dxdydz 22zyzR?R ?3x2?y2?z2?R222(x?y)dxdydz?3????dzx2?y2?R2?z222(x?y)dxd y???3??R08(R2?z2)dz??R5
5
五、1、令an??111??an?1 ，则liman?0,且an?n??ln(1?n)ln(1?n)ln(n?2)从而
?(?1)nn?11收敛
ln(n?1)11?
ln(1?n)n又n?ln(n?1)，所以an???11而?发散，故?发散，从而原级数条件收敛。 n?1nn?1ln(n?1)??2、设OA的方程为y?y(x)，且记y0?y(x0)
则由题设条件得：
?x00(y?x0y0122x)dx?x0, 即?ydx?x0y0?x0
02x0 将(x0,y0)改为(x,y)得： 求导得：y???x0ydx?1xy?x2 21y??4，且y(1)?1 x 该方程的通解为y?(c?(?4)e???xdx1dx)e?xdx1?(c?4lnx)x
又y(1)?1，即1?(c?4ln1)1，所以c?1. 故所求的曲线方程为y?x(1?4lnx)
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