一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。）
?sinx?（1）.求lim??x?0x???sinx?lim??x?0?x??limex?011?cosx11?cosx；
解：方法一（用两个重要极限）：
?sinx?x??lim?1??x?0x??sinx?xx?013x2limxsinx?x?sinx?xx?1?cosx?sinx?xx?1?cosx??e?ecosx?1x?032x2lim?e1?x2lim2x?032x2
?e?13方法二（取对数）：
?sinx?lim??x?0x???esinx?xx?013x2lim11?cosx?e?sinx?ln??x??limx?01?cosx?esinx?1xlimx?012x2
cosx?1x?032x2lim1?x2lim2x?032x213?e?e?e11??1（2）.求lim?； ??...??n??n?1n?2n?n??111??...?解：方法一（用欧拉公式）令xn? n?1n?2n?n由欧拉公式得1?11????lnn=C+o（1），2n
1111则1?????????ln2n=C+o（1），2nn?12n?其中，o?1?表示n??时的无穷小量，
?limxn?ln2. ?两式相减，得：xn-ln2?o（1）,n??方法二（用定积分的定义）
111111?lim(???) limx?lim?lim(???)nn??n??n??n??1nn1?nn?12n1?nn11??dx?ln2 01?x2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。 2tdxy?t?arctane??et1?2tt2tdx2e2tdyetdye?e?11?e?,?1????解： 2t2t2t2t2edt1?edt1?edx2e1?e2t2tt2t2t1?ee?2????dyd?dy?1e?21?e ?2??????2t?2t4tdxdt?dx?dx2e2e4edt二．（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。 解：设P?2x?y?4,Q?x?y?1，则Pdx?Qdy?0 ?P?Q???1,?Pdx?Qdy?0是一个全微分方程，设dz?Pdx?Qdy ?y?x?z?P?2x?y?4得 方法一：由?xz???2x?y?4?dx?x2?xy?4x?C?y?
12?z''由?x?C?y??Q?x?y?1得C?y??y?1,?C?y??y?y?c
2?y1?z?x2?xy?4x?y2?y?c
2方法二：z??dz??Pdx?Qdy??2x?y?4?dx??x?y?1?dy ??0,0??x,y??P?Q??,?该曲线积分与路径无关 ?y?x?z???2x?4?dx???x?y?1?dy?x2?4x?xy?00xy12y?y 2三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
f?0?,f'?0?,f\?0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
k1f?h?kf2?h?3k?f3?h??0f??2?lim?0。 2h?0h证明：由极限的存在性：lim??k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0????0
h?0即
?k1?k2?k3?1?f?0??0，又f?0??0，?k1?k2?k3?1①
k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?
由洛比达法则得
limh?02h'''kfh?2kf2h?3kf由极限的存在性得lim??????3h??23?1??0
h?0h?0?lim?0即
?k1?2k2?3k3?f'?0??0，又f'?0??0，?k1?2k2?3k3?0②
k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?2hk1f\?h??4k2f\?2h??9k3f\?3h??0
再次使用洛比达法则得
limh?02??k1?4k2?9k3?f\?0??0?f\?0??0?k1?4k2?9k3?0③
?k1?k2?k3?1?k,k,k由①②③得123是齐次线性方程组?k1?2k2?3k3?0的解
?k?4k?9k?023?1?111??k1??1???????设A?123,x?k2,b?0，则Ax?b， ???????149??k??0????3????1111??1003?????*增广矩阵A?1230?010?3，则R?A,b??R?A??3
?????1490??0011?????所以，方程Ax?b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意， 且k1?3,k2??3,k3?1。
h?0?limx2y2z2?2:z2?x2?y2，四．（本题17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，
abc?为?1与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
x2y2z2解：设?上任一点M?x,y,z?，令F?x,y,z??2?2?2?1，
abc2x'2y'2z'则Fx?2,Fy?2,Fz?2,?椭球面?1在?上点M处的法向量为：
abc??xyz?t??2,2,2?,??1在点M处的切平面为?：
?abc?xyzX?x??2?Y?y??2?Z?z??0 2?abc1x2y2z2原点到平面?的距离为d?，令G?x,y,z??4?4?4,
abcx2y2z2?4?44abc1则d?，
G?x,y,z?x2y2z2x2y2z2222现在求G?x,y,z??4?4?4,在条件2?2?2?1，z?x?y下
abcabc的条件极值，
?x2y2z2?x2y2z2222令H?x,y,z??4?4?4??1?2?2?2?1???2?x?y?z?
abcbc?a?则由拉格朗日乘数法得：
2x?'2x?Hx?a4??1a2?2?2x?0??H'?2y??2y?2?y?0122?yb4b?2z?'2zH????z12?2?2z?0， 4cc??x2y2z2?2?2?2?1?0bc?a?x2?y2?z2?0??22?x?0?2ac2??x?z?2222解得?或?， a?cbc22?y?z?2?b?c2?y?0?b4?c4a4?c4对应此时的G?x,y,z??或G?x,y,z??
22222222bc?b?c?ac?a?c?b2?c2a2?c2此时的d1?bc或d2?ac 4444b?ca?c又因为a?b?c?0，则d1?d2
所以，椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： b2?c2，d1?bc 44b?c?x2?3y2?1五．（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部
?z?0分（z?0）取上侧，?是S在P?x,y,z?点处的切平面，??x,y,z?是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦。计算：
z（1）（2）z??x?3?y??z?dS dS；?????x,y,z??SS解：（1）由题意得：椭球面S的方程为x令F2a2?c2d2?ac4a?c4?3y2?z2?1?z?0?
?x2?3y2?z2?1,则Fx'?2x,Fy'?6y,Fz'?2z，
?切平面?的法向量为n??x,3y,z?，
?的方程为x?X?x??3y?Y?y??z?Z?z??0，
原点到切平面?的距离为??x,y,z??x2?3y2?z2x?9y?z222?1x?9y?z222 z?I1???dS???zx2?9y2?z2dS
??x,y,z?SS22将一型曲面积分转化为二重积分得：记Dxz:x?z?1,x?0,z?0 ?I1?4??Dxz22z?3?2x?z??????3?1?x2?z2??dxdz?4?2sin?d??01r2?3?2r2?dr3?1?r2?0 ?4?1r2?3?2r2?dr3?1?r2?0?4?20sin2??3?2sin2??d?3