作出线性相关与循环相关的图，如图5。线性相关的横坐标为-M—N；循环相关的横坐标为0—N。
线性褶积时间域法600褶积值褶积值线性褶积频率域法60040020000501001502004002000050100150200循环褶积时间域法600褶积值褶积值循环褶积频率域法60040020000501001504002000050100150线性相关400400循环相关200200r0-100r-500501000050100150图5：正演图
（2）反演：
若已知x1和线性褶积、循环褶积的结果，要反演x2。 1. 时间域的方法（线性和循环） 利用x1拓展的L*L矩阵，L为线性褶积或循环褶积的长度，对这个矩阵求逆矩阵，再与褶积结果相乘便得到x2。 2.频率域的方法（线性和循环） 对公式 ?z(0)??1??X(0)?11?11?????1?2?(N?2)?(N?1) ?z(1)?1WW?WWX(1)?????? ??2?4?2(N?2)?2(N?1)??X(2)?z(2)?WW?WW1?1 ???????N????????????? ??(N?2)?2(N?2)?(N?2)(N?2)?(N?2)(N?1)???1W??X(N?2)?W?WW ?z(N?2)??????(N?1)?2(N?1)?(N?2)(N?1)?(N?1)(N?1)W?WW ?z(N?1)??1W??X(N?1)?的W矩阵作逆变换，可求出然后X1和X2两个频率域相乘的结果X（i）。然后利用
X（i）i）i）= X（i）/X（求出X（。最后利用公式 212
?X(0)??11???X(1)W???12?X(2)??1W???????????X(N?2)??1W(N?2)???(N?1)X(N?1)???1W1??????1WW?24WWWWN?22(N?2)?(N?2)(N?2)(N?2)(N?1)WW2(N?2)2(N?1)??N?1W?2(N?1)?W???(N?2)(N?1)?W?(N?1)(N?1)W?1?x(0)???x(1)???x(2)???????x(N?2)???x(N?1)??同样对W矩阵作逆变换，与X相乘即得到x2。这里的N是线性褶积或循环褶积的长度。
3.特别说明
但是，需要指出的是，这里求出的x2的长度是线性褶积或循环褶积的长度，并不是x2的真实长度，它对超出x2真实长度的部分补零。其反演的图像如图6所示，得到的结果即为x2(j)?1j?1(j?[0,99])。
循环褶积时间域法反演ax=b,已知a，b12010080604020线性褶积时间域法反演ax=b,已知a，b120100806040200050100150200xx0050100150线性褶积频率域法反演ax=b,已知a，b120100806040200050100150循环褶积频率域法反演ax=b,已知a，b120100806040200050100150xx图6：反演图
四、设计一个病态（矩阵）系统，分析其病态程度；找出对应的解决方法（提示：添加白噪因子）。
此题程序见文件夹第四题bintai.m文件。 在用矩阵 zxN?1xN?2?x2x1??y0??0??x0 ??????zxxx?xxy110N?1321 ??????x1x0xN?1?x3? ?y2? ?z2???x2??? ????????????????? ?z??x??xN?2xN?3?x1x0???yN?1? ?N?1??N?1求褶积时，有时会遇到N*N的x矩阵的特征值中有0的情况。在这种情况下，在已知x和z的情况下，便反演不出y的值。这样的x矩阵称为病态矩阵。
病态矩阵的病态程度为无限大。
设x矩阵用A表示；y矩阵用X表示；z矩阵用B表示。
在程序中通过先构建一个特征值有0的的病态矩阵，构建的方法是，先求一
?1个矩阵A1的特征值，特征值的求法用 然后将所求的其FA1F的方法求出特征值。
中几个特征值换为0。接着再利用新的特征值求出矩阵A，即为病态矩阵。设AX=B，构建出X，求出B。然后对新的特征值添加白噪因子（很小的数）。再将添加完白噪因子后的特征值用 的方法求出Xt。比较X与Xt后发现，两者相差很小，如图7所示。
原始x10.50-0.5-1Xt?F（FAF）FB-1?1-1x0102030405060708090100添加白噪因子后求的x10.50-0.5-1x0102030405060708090100
图7
五、设计一个一维滤波处理程序（1、分别做低通、高通、带通、带阻等理想滤波器进行处理；2、窗函数）。
对信号求fft后得到的频谱进行滤波操作。此题程序见文件夹第五题yiweilvbo.m文件。
对离线信号x（i）=sin（i）/i求频谱，对频谱进行低通、高通、带通、带阻处理，如图8所示
低通频谱320.80.60.410.2050带通频谱0.80.60.40.2005010013210000高通频谱050带阻频谱1000050100图8：频谱处理
对处理后的频谱进行ifft处理得到处理后的信号如图9
原始信号10.50-0.5pinlv原始频谱420-2 00.4gaotongxinhao 实部虚部xinhao02040608010020406080100低通信号1ditongxinhao高通信号0.50-0.50.20-0.2-0.4020406080100020406080100带通信号0.2daitongxinhaodaizuxinhao带阻信号10.50-0.50.10-0.1-0.2020406080100020406080100图9：滤波信号