cosφ= … = (3a-c)/(3a+c) (2) 如右图，利用余弦定律，可得
2222
cosφ= … = (3a-c)/(3a+c)
1-27.利用上题所得的公式具体计算Zn(c/a=1.86)、Mg(c/a=1.62)和Ti(c/a=1.59)三种金
属的(102)面和(012)面的夹角。
解：代入公式，得 cosφ1 = -0.0711, cosφ2 = 0.0668, cosφ3 = 0.0854； 得夹角为φ1 (Zn)= 94.1o, φ2 (Mg)= 86.2o, φ3 (Ti)= 85.1o。 1-28.将(102)和(012)分别换成[011]和[101]，重做1-26、1-27题。
2222
解：化为三指数为[1]和[211]，代入公式，得cosβ= … = (c-3a)/(3a+c)
2222
见1-26题答案中的图，利用余弦定律，可得 cosβ= … = (c-3a)/(3a+c)
代入公式，得 cosφ1 = 0.0711, cosφ2 = -0.0668, cosφ3 = -0.0854； 得夹角为φ1 (Zn)= 85.9o, φ2 (Mg)= 93.8o, φ3 (Ti)= 94.9o。 1-29.推导菱方晶体在菱方轴下的点阵常数aR、αR和
在六方轴下的点阵常数aH、cH之间的换算公式。 解：在aH、bH、cH下，aR = ?[11]， 所以点阵常数aR = L
22222
= aH〃sqrt (U+V+WcH/aH-UV)
22
= ?√(3aH+cH),
又因为αR是晶向?[11]与?[121]的夹角， 所以点阵常数αR
2222
= arcos ( (cH/aH-3/2)/(3+ cH/aH) )
2222
= arcos ( (2cH-3aH)/(6aH+2cH) )。
可得a H = aR〃sqrt (2(1-cosα))； c H = aR〃sqrt (3(1+2cosα))。
1-30.已知α-Al2O3(菱方晶体)的点阵常数为aR = 5.12
?、αR = 55o17’，求它在六方轴下的点阵常数aH和cH。
解：利用上题公式，将aR 、αR 数值代入，可得aH = 4.75 ?、cH = 12.97 ?。
2222
第一章补充题：
1. Prove that the A-face-centered hexagonal lattice is
not a new type of lattice in addition to the 14 space lattice.
答：如图，六方点阵加入a面面心以后，对称性降低，可以连成一个面心斜方点阵。所以它不是一个新点阵。 2. Draw a primitive cell of BCC lattice. (答案见1-3) 3. Prove that the sizes of both octahedral and tetrahedral
interstitials in HCP are same as there in FCC. (答案见1-13，计算在课本P18、P20) 4. Determine the coordinates of centers of both the
octahedral and the tetrahedral interstitial in HCP
refered to a, b and c.（答案见1-14）
5. Prove that [h k l]⊥(h k l) for cubic crystal.（答案见1-15）
6. Show all possible {102} planes in the hexagonal unit cell and label the specific
indices for each plane.
答：{102} = (102) +(012) +(102) +(012) +(012) +(102) 如图，顺序按逆时针排列。 7. Point out all the <110> on (111) planes both analytically and graphically.
答：画图法：下图。
解析法：(111)面的面方程为x+y+z = 1，列出所有可能的<110> = [110]+ [011] +[101] +[10] +[01] +[10] (其他为这六个的反方向)，将(x y z)代入面方程，得知前三个不满足，后三个满足，即[10]、[01]、[10]在(111)面上。 8. Prove that the zone equation holds for cubic
system.
证明：已知在立方晶系中[h k l]方向垂直与(h k l)面，
由于[u v w]方向属于(h k l)面， 必有[h k l]垂直于[u v w]，
即[h k l][u v w] = 0，得hu +kv +lw = 0。
第二章习题及答案
2-11.比较石墨和金刚石的晶体结构、结合键和性能。
答：金刚石晶体结构为带四面体间隙的FCC，碳原子位于FCC点阵的结合点和四个不
相邻的四面体间隙位置(见1-6题答案)，碳原子之间都由共价键结合，因此金刚石硬度高，结构致密。石墨晶体结构为简单六方点阵，碳原子位于点阵结点上，同层之间由共价键结合，邻层之间由范德华力结合，因此石墨组织稀松，有一定的导电性，常用作润滑剂。
2-12.为什么元素的性质随原子序数周期性的变化？短周期元素和长周期元素的变化有何
不
同？原因何在？
答：因为元素的性质主要由外层价电子数目决定，而价电子数目是随原子序数周期性
变
化的，所以反映出元素性质的周期性变化。长周期元素性质的变化较为连续、逐渐过渡，而短周期元素性质差别较大，这是因为长周期过渡族元素的亚层电子数对元素性质也有影响造成的。 2-13.讨论各类固体中原子半径的意义及其影响因素，并举例说明。
答：对于金属和共价晶体，原子半径定义为同种元素的晶体中最近邻原子核之间距离之半。共价晶体中原子间结合键是单键、双键或三键将会影响原子半径，所以一般使用数值最大的单键原子半径r(1)；金属晶体中，配位数会影响原子半径，例如α-Fe (CN=8)比γ-Fe (CN=12)的原子半径小3％，一般采用CN=12的原子半径。
对于非金属的分子晶体，同时存在两个原子半径：一是共价半径，另一是范德华原子半径(相邻分子间距离之半)。例如氯分子晶体中，两半径分别为0.099nm和0.180nm。
+－
对于离子晶体，用离子半径r、r表示正、负离子尺寸。在假设同一离子在不同离子晶体中有相同半径的情况下，可以大致确定离子半径。但离子半径只是一个近似的概念，电子不可能完全脱离正离子，因此许多离子键或多或少带有共价键的成分，当这种特点较为突出时，离子半径的意义就不确切了。 2-14.解释下列术语：
合金——由金属和其它一种或多种元素通过化学键结合而成的材料。 组元——组成合金的每种元素(金属、非金属)。
相——合金内部具有相同的(或连续变化的)成分、结构和性能的部分或区域。
组织——一定外界条件下，组成一定成分的合金的若干种不同的相的总体。
固溶体——溶质和溶剂的原子占据了一个共同的布拉维点阵，且此点阵类型与溶剂点
阵类型相同；组元的含量可在一定范围内改变而不会导致点阵类型的改变。具有以上两性质的金属或非金属合成物就叫做固溶体。
金属间化合物——金属与金属形成的化合物。
超结构(超点阵)——有序固溶体中的各组元分点阵组成的复杂点阵。
分点阵(次点阵)——有序固溶体中各组元原子分别占据的各自的布拉维点阵。 负电性——表示元素在和其它元素形成化合物或固溶体时吸引电子的能力的参量。 电子浓度——合金中每个原子的平均价电子数。
2-15.有序合金的原子排列有何特点？这种排列和结合键有什么关系？为什么许多有序合
金在高温下变成无序？从理论上如何确定有序－无序转变的温度(居里温度)？
答：有序合金中各组元原子占据各自的布拉维点阵，整个合金就是这些分点阵组成的
超点阵。这种排列是由原子间金属键造成的，是价电子集体将原子规则排列。高温下由于原子的热运动加剧，到一定程度就会摆脱原来的结点位置，造成原子排列的无序性。理论上可以利用金属键的强度与分子平均自由能的大小关系确定有序合金的转变温度。 2-16.试将图2-43中的各种有序合金结构分解为次点阵(指出次点阵的数量和类型)。
答：(a) 两个次点阵，简单立方点阵。Cu、Zn各一个。 (b) 四个次点阵，简单立方点阵。Au一个，Cu三个。 (c) 四个次点阵，简单立方点阵。Cu、Au各两个。
(d) 四个次点阵，面心立方点阵。a、b、c、d各一个。
(e) 四十个次点阵，简单立方点阵。Cu、Au各二十个。 2-17.简述Hume-Rothery规则及其实际意义。
答：(1) 形成合金的元素原子半径之差超过14％～15％，则固溶度极为有限； (2) 如果合金组元的负电性相差很大，固溶度就极小；
(3) 两元素的固溶度与它们的原子价有关，高价元素在低价元素中的固溶度大于
低价元素在高价元素中的固溶度；
(4) ⅡB～ⅤB族溶质元素在ⅠB族溶剂元素中的固溶度都相同(e/a=1.36)，与具
体的元素种类无关；
(5) 两组元只有具有相同的晶体结构才能形成无限(或连续)固溶体。
Hume-Rothery规则虽然只是否定规则((1)、(2))，只是定性或半定量的规则，而且后三条都只限于特定情况。但它总结除了合金固溶度的一些规律，帮助预计固溶度的大小，因而对确定合金的性能和热处理行为有很大帮助。 2-18.利用Darken-Gurry图分析在Mg中的固溶度可能比较大的元素(所需数据参看表2-7)。 答：Mg元素的原子半径r=0.16nm，x=1.2，根据Hume-Rothery规则，在r∈
(0.136,0.184)，x∈(0.8,1.6)范围内寻找元素，做一椭圆，由课本P100图2－45可以看出，可能的元素有Cd、Nb、Ti、Ce、Hf、Zr、Am、P、Sc及镧系元素。 2-19.什么是Vegard定律？为什么实际固溶体往往不符合Vegard定律？
答：实验发现两种同晶型的盐形成连续固溶体时，固溶体的点阵常数与成分呈直线关
系，即点阵常数正比于任一组元的浓度，这就是Vegard定律。因为Vegard定律反映了成分对合金相结构的影响，但对合金相结构有影响的不只是成分，还有其它因素(如电子浓度、负电性等)，这些因素导致了实际固溶体与Vegard定律不符。
2-20.固溶体的力学和物理性能和纯组元的性能有何关系？请定性地加以解释。
答：固溶体的强度和硬度往往高于各组元，而塑性则较低，这是因为：(1) 对于间隙
固溶体，溶质原子往往择优分布在位错线上，形成间隙原子“气团”，将位错牢牢钉扎住，起到了强化作用；(2) 对于置换固溶体，溶质原子往往均匀分布在点阵内，造成点阵畸变，从而增加位错运动的阻力，这种强化作用较小。
固溶体的电学、热学、磁学等物理性质也随成分而连续变化，但一般都不是线性
关系，这是因为溶质原子一般会破坏溶剂原来的物理性能，但合金呈有序状态时，物理性能又会突变，显示出良好的物理性能。 2-21.叙述有关离子化合物结构的Pauling规则，并用此规则分析金红石的晶体结构。 答：(1) 在正离子周围形成一负离子配位多面体，正负离子之间的距离取决于离子半
径之和，而配位数则取决于正负离子半径之比；
(2) 正离子给出的价电子数等于负离子得到的价电子数，所以有Z+/CN+ = Z－/CN－； (3) 在一个配位结构中，当配位多面体共用棱、特别是共用面时，其稳定性会降低，而且正离子的电价越高、配位数越低，则上述效应越显著；
(4) 在含有一种以上正离子的晶体中，电价大、配位数小的正离子周围的负离子配位多面体力图共顶连接；
(5) 晶体中配位多面体的类型力图最少。
对于金红石：(1) 正负离子半径比为0.48，根据课本P104表2-8，可知负离子多面体为八面体，正离子配位数为6；(2) Z+ = 4，Z－ = 2，所以CN－ = CN+?Z－/ Z+ = 6/2 = 3。 2-22.讨论氧化物结构的一般规律。
答：氧化物结构的重要特点就是氧离子密排。大多数简单的氧化物结构中氧离子都排
成面心立方、密排六方或近似密排的简单立方，而正离子则位于八面体间隙、四面体间隙或简单立方的体心。 2-23.讨论硅酸盐结构的基本特点和类型。
答：基本特点：(1) 硅酸盐的基本结构单元是[SiO4]四面体，硅原子位于氧原子四面体的间隙中；(2) 每个氧最多只能被两个[SiO4]四面体共有；(3) [SiO4]四面体可以互相孤立地在结构中存在，也可以通过共顶点互相连接；(4) Si-O-Si的结合键形成一折线。 按照硅氧四面体在空间的组合情况可以分为：岛状、链状、层状、骨架状。 2-24.从以下六个方面总结比较价化合物、电子化合物、TCP相和间隙相 (间隙化合物)等各
种金属间化合物。
价化合物 电子化合物 TCP相 原子半径相差不大的金属元素 由密排四面体按一定次序堆垛而成 金属键 间隙相 原子半径较大的过渡族金属元素和原子半径较小的准金属元素(H、B、C、N、Si等) 通常金属原子排成FCC或CPH结构，准金属原子位于四面体或八面体间隙 混合型：金属原子之间为金属键，金属与贵金属与B族金属与金属，元素，Ⅷ族(铁金属与准金族)元素和某些属 B族元素 通过电子的转移或共用，形成8电子稳定组态 离子键、共价键或离子－结构主要由电子浓度决定 组成元素 结构特点 结合键 主要是金属键