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解法二:分别以DP,DC,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC?2,1则A(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),设CF??CP,则F(23?,2?2?,0),DF?CF,可得??,43331从而F(,,0),易得E(,0,0),取面ADF的一个法向量为n1?CP?(3,?1,0),2222设面AEF的一个法向量为n2?(x,y,z),利用n2?AE?0,且n2?AF?0,得n2可以是(4,0,3),从而所求二面角的余弦值为n1?n243257??.|n1|?|n2|2?1919（14分）设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn?2nan?1?3n2?4n,n?N*，且S3?15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列?an?的通项公式;
解:(1)a1?S1?2a2?3?12?4?1?2a2?7①a1+a2=S2?4a3?3?22?4?2?4(S3?a1?a2)?20?4(15?a1?a2)?20,?a1+a2?8联立①,②解得??a1?3?a2?5,?a3?S3?a1?a2?15?8?7,综上a1?3,a2?5,a3?7,(2)S2n?2nan?1?3n?4n③?当n?2时,Sn?1?2(n?1)an?3(n?1)2?4(n?1)④③?④并整理得:a2n?1n?1?2na6n?1n?2n,由(1)猜想an?2n?1,以下用数学归纳法证明:(i)由(1)知,当n?1时,a1?3?2?1?1,猜想成立;(ii)假设当n?k时,猜想成立,即ak?2k?1,则当n?k?1时,a1k?1?2k?2ka6k?1k?2k?2k?12k?(2k?1)?3?12k?4k2?12k?3?12k?2k?3?2(k?1)?1这就是说n?k?1时,猜想也成立,从而对一切n?N?,an?2n?1.- 6 -
②
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x2y2520.（14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为，
ab3（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
解:(1)c?5,e?c55??,?a?3,b2?a2?c2?9?5?4,aa3x2y2?椭圆C的标准方程为:??1.94(2)若一切线垂直x轴,则另一切线垂直于y轴,则这样的点P共4个,它们的坐标分别为(?3,?2),(3,?2).若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y?y0?k(x?x0),x2y2即y?k(x?x0)?y0,将之代入椭圆方程??1中并整理得:942(9k2?4)x2?18k(y0?kx0)x?9??(y0?kx0)?4???0,依题意,??0,2222即:(18k)2(y0?kx0)2?36??(y0?kx0)?4??(9k?4)?0,即4(y0?kx0)?4(9k?4)?0,
y02?4?(x0?9)k?2x0y0k?y0?4?0,两切线相互垂直,?k1k2??1,即:2??1,x0?9222?x02?y02?13,显然(?3,?2),(3,?2)这四点也满足以上方程,?点P的轨迹方程为x2?y2?13.
21.（本题14分）设函数f(x)?1(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3222，其中k??2，
（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）； （2）讨论f(x)在区间D上的单调性；
（3）若k??6，求D上满足条件f(x)?f(1)的x的集合（用区间表示）.
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解:(1)(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?0,则x2?2x?k?1①或x2?2x?k??3②由①得:x2?2x?k?1?0,?1?4?4(k?1)?4(2?k)?0(k??2),?方程x2?2x?k?1=0的解为?1?2?k,?由x2?2x?k?1?0得:x??1?2?k或x??1?2?k,由②得:x2?2x?k?3?0,方程x2?2x?k?3?0的判别式?2?4?4(k?3)?4(?2?k)?0(k??2),?该方程的解为?1??2?k,由x2?2x?k?3?0得:?1??2?k?x??1??2?k.k??2,??1?2?k??1??2?k??1??1??2?k??1?2?k,?D?(??,?1?2?k)(?1??2?k,?1??2?k)(?1?2?k,??).(2)设u?(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?0,1?3则f(x)???u2??2(x2?2x?k)?(2x?2)?2(2x?2)???2'??2u(x?1)?(x2?2x?k?1)(i)当x?(??,?1?2?k)时,x?1?0,x2?2x?k?1?1?1?0,?f'(x)?0;(ii)当x?(?1??2?k,?1)时,x?1?0,x2?2x?k?1??3?1?0,?f'(x)?0;(iii)当x?(?1,?1??2?k)时,x?1?0,x2?2x?k?1??3?1?0,?f'(x)?0;(iv)当x?(?1?2?k,??)时,x?1?0,x2?2x?k?1?1?1?0,?f'(x)?0.综上,f(x)在D上的单调增区间为:(??,?1?2?k),(?1,?1??2?k),f(x)在D上的单调减区间为:(?1??2?k,?1),(?1?2?k,??).
?32(3)设g(x)?(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3,由(1)知,当x?D时,g(x)?0;又g(1)?(3?k)2?2(3?k)?3?(k?6)(k?2),显然,当k??6时,g(1)?0,从而不等式f(x)?f(1)?g(x)?g(1),g(x)?g(1)?[(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3]?[(3?k)2?2(3?k)?3]?[(x2?2x?k)2?(3?k)2]?2[(x2?2x?k)?(3?k)]?(x?3)(x?1)(x2?2x?2k?5),k??6,??1??4?2k??1?2?k??1??2?k??3?1??1??2?k??1?2?k??1??4?2k,(i)当x??1?2?k时,(x?3)(x?1)?0,?欲使f(x)?f(1),即g(x)?g(1),亦即x2?2x?2k?5?0,即?1??4?2k?x??1??4?2k,??1??4?2k?x??1?2?k;(ii)?1??2?k?x??3时,(x?3)(x?1)?0,x2?2x?2k?5?(x2?2x?k)?(k?5)??3?(k?5)?0,此时g(x)?g(1),即f(x)?f(1);(iii)?3?x?1时,(x?3)(x?1)?0,x2?2x?2k?5??3?(k?5)?0,?g(x)?g(1),不合题意;(iv)1?x??1??2?k时,(x?3)(x?1)?0,x2?2x?2k?5??3?(k?5)?0,?g(x)?g(1),合题意;(v)x??1?2?k时,(x?3)(x?1)?0,?欲使g(x)?g(1),则x2?2x?2k?5?0,即?1??4?2k?x??1??4?2k,从而?1?2?k?x??1??4?2k.综上所述,f(x)?f(1)的解集为:(?1??4?2k,?1?2?k)?(?1??2?k,?3)?(1,?1??2?k)?(?1?2?k,?1??4?2k).
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