北京市顺义区2013届高三第二次统练
数学试卷(理工类)
一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的
一项.
1.已知集合A??x?R?3?x?2?,B?x?Rx2?4x?3?0,则A?B?
??A.??3,1?
3?2i? 2.复数
1?i15A.?i 22B.??3,1? C.?1,2? D.???,2???3,???
1515?i D.??i 2222??2?3???3.在极坐标系中,直线l的方程为?sin?????,则点A?2,?到直线l的距离为
442????222A.2 B. C.2? D.2?
2224.执行如图所示的程序框图,输出的s值为
开始 A.?10 B.?3
C.4 D.5 k?1,s?1
5.已知数列?an?中,an??4n?5,等比数列?bn?的公比q满足
B.
15?i 22C.?k?k?1 s?2s?k q?an?an?1?n?2?,且b1?a2,则b1?b2???bn? A.1?4n 1?4nC.
3B.4n?1 4n?1D.
3?x?2y?2,?6.设变量x,y满足约束条件?2x?y?4,则23x?y的取值范围是
?4x?y??1?k?5? 是 否 输出s 结束 ?21??2??1??1?,,64A.?B.?,64? C.?D.?,22? ? ?
?2??64??42??4?7.已知正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,且
AP??AB,AQ??1???AC,??R,则BQ?CP的最大值为
3333A. B.? C. D.?
28288.设m,n?R,若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线
l的距离为3,则?AOB的面积S的最小值为 1A. B.2 C.3 2D.4
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)
1??9.?x??的展开式中含x5的项的系数为 (用数字作答).
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9
10.设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA?sinC? ,?ABC的面积S? . 1?,?B?,b?5,则3411.如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF?CF?2,AF?2BF,若CE与圆相切,且
CE?7,则BE? . 2DAFBEC12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则h? m. h 正(主)视图 侧(左)主视图
5
4
2
俯视图
22xyx2y226??1的焦点相同,13.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为,顶点与椭圆853ab那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .
14.设定义在R上的函数f?x?是最小正周期为2?的偶函数,f??x?是f?x?的导函数.当x??0,??????时,0?f?x??1;当x??0,??且x?时,?x??f??x??0.则函数y?f?x??cosx在??3?,3??上的
22??零点个数为 .
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)
已知函数f?x???3cosx?sinxsin2x1?.
2cosx2????(I)求f??的值;
?3?(II)求函数f?x?的最小正周期及单调递减区间.
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16.(本小题满分14分)
A1D1如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AA1?AD?1,E为
CD的中点,F为AA1的中点.
B1(I)求证:AD1?平面A1B1E; C1F(II)求证:DF//平面AB1E;
(III)若二面角A?B1E?A1的大小为45?,求AB的长.
A D E BC17.(本小题满分13分)
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:?20,25?,?25,30?,?30,35?,?35,40?,?40,45?.
(I)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在?35,40?岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
频率/组距
0.07
x
0.04
0.02
0.01 O 20 25 30 35 40 45 年龄/岁
18.(本小题满分13分)
ex已知函数f?x??,其中a为正实数,e?2.718?. 21?ax(I)若x?1是y?f?x?的一个极值点,求a的值; 2(II)求f?x?的单调区间.
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19.(本小题满分14分)
x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的两个焦点分别为F1,F2,且F1F2?2,点P在椭圆上,且
ab?PF1F2的周长为6. (I)求椭圆C的方程;
(II)若点P的坐标为?2,1?,不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为
M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线.求
121322AB?d的最大值. 1316
20.(本小题满分13分)
已知函数f?x??2aex?1,g?x??lnx?lna?1?ln2,其中a为大于零的常数,e?2.718?,函数
y?f?x?的图像与坐标轴交点处的切线为l1,函数y?g?x?的图像与直线y?1交点处的切线为l2,且l1//l2.
(I)若在闭区间?1,5?上存在x使不等式x?m?xf?x??x成立,求实数m的取值范围; (II)对于函数y?f?x?和y?g?x?公共定义域内的任意实数x0,我们把f?x0??g?x0?的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y?f?x?和y?g?x?在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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数学试卷(理工类)参考答案
一、ABBA BCDC 二、9.36
10.
4?2100?252 ,691 211.
12.4 13.?22,0,y????15x 314.6
???三、15.解:(I)f????3????3cos?sin?33?2??sin?13??
?22cos3?13?3?3?????22?2111?????0??.?????????????4分
12222?2?(II)cosx?0,得x?k???k?Z?
2???故f?x?的定义域为?x?Rx?k??,k?Z?.
2??因为f?x???13cosx?sinxsin2x1??sinx3cosx?sinx?
22cosx2????3131?cos2x1sin2x?sin2x??sin2x?? 2222231???sin2x?cos2x?sin?2x??, 226??2???. 2?所以f?x?的最小正周期为T??3????k?Z?, 因为函数y?sinx的单调递减区间为?2k??,2k???22??由2k??得k???2?2x??6?2k??3??,x?k???k?Z?, 22?6?x?k??2??,x?k???k?Z?, 32?????2???所以f?x?的单调递减区间为?k??,k???,?k??,k????k?Z?.??13分 6223????高三数学(理工类)试卷 第5页(共9页)