3.1 同角三角函数的基本关系
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列结论能成立的是（ ） A.sinα=
11cos?1? 且cosα= B.tanα=2且
22sin?3C.tanα=1且cosα=
2 D.sinα=1且tanα2cosα=1 2解析：同角三角函数的基本关系式中要注意理解“同角”的含义；关系式是指一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角. 答案：C
2.（1）若tanα=-2且α为第二象限角，求sinα、cosα； （2）若tanα=-2，求sinα、cosα. 解：（1）由题意和基本关系式可列下列方程组：
?sin2??cos2??1,(1)? sin????2.(2)?cos??由②得sinα=-2cosα，代入①式整?理得5cosα=1，cosα=
2
2
1.又α为第二象限角，所5以cosα=?525，sinα=. 552
（2）由（1）可得cosα=
1.又α可为第二、四象限角，所以当α为第二象限角时，5cosα=?525525，sinα=；当α为第四象限角时，cosα=，sinα=?. 55553.已知x、y满足??x?3sin???(1),求x、y之间的函数关系式.
?y?3cos???(2).2
2
x2解：由①：x=9sinθ，∴sinθ=. ③
92
y2由②：y=9cosθ，∴cosθ=. ④
92
2
2
x2y222
?将③④代入sinθ+cosθ=1中，可得=1,∴x、y满足x+y=9. 992
2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知sinθ=
4，θ为第二象限角，则tanθ等于（ ） 51
4343 B. C.? D.? 3434432解析：由sinθ=且θ为第二象限角，知cosθ=?1?sin???，
55sin?4??. ∴tanθ=
cos?3A.
答案：C
2.若tanα=-1，则sinα+cosα的值是（ ）
A.2 B.?2 C.0 D.±2
解析：由tanα=-1，知α=kπ+
3?3?3?2（k∈Z）.不妨取α=，则sinα=sin=，4442cosα=cos
3?2=?. 42∴sinα+cosα=
22=0.故选C. ?22答案：C
3.若tan100°=k，则sin80°的值等于（ ）
1?k2A. B.
2k1?kk1?k2C.? D.?
2k1?kk解析：∵100°=180°-80°，
∴tan100°=tan（180°-80°）=-tan80°=k. ∴tan80°=-k（k＜0）.
sin280?sin280??又tan80°=, 22cos80?1?sin80?2
sin280?k222
∴=k，即sin80°=2. 21?sin80?k?1
∵k<0，∴sin80°=?答案：C
4.已知sin（π+α）=
kk?12.
3（α是第四象限的角），则cos（α-2π）=_____________. 5解析：∵sin（π+α）=-sinα，
2
∴sinα=?3. 52
2
而cos（α-2π）=cos（2π-α）=cosα，据?α属于第四象限，且cosα=1-sinα，知cosα= 1?(?3)2?455. 答案：
45 5.已知sinα-cosα=
12，求sin3α-cos3
α的值. 解：将sinα-cosα=12两边同时平方，得1-2sinαcosα=14，
即sinαcosα=38.
∴sin3
α-cos3
α=（sinα-cosα）（sin2
α+cos2
α+sinαcosα）=13112(1?8)?16. 6.已知tanα=-2，求下列各式的值： （1）
4sin??2cos?5cos??3sin?； （2）14sin2α+25cos2
α.
解：∵tanα=-2，则cosα≠0. （1）
4sin??2cos?4tan??24?(?2)5cos??3sin??5?3tan???25?3?(?2)=10；
1sin2??212（2）14sin2??25cos2?4tan2??55cos2??4sin2??cos2??tan2??1?725. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosα=tanα，则sinα的值是（ ） A.
5?1?5?12 B.?5?12 C.2 D.以上皆错 解析：由cosα=tanα，得cos2
α=sinα. ∴1-sin2α=sinα，即sin2
α+sinα-1=0. 解之,得sinα=
?1?52. 又cosα=tanα，∴α属于第一或第二象限. ∴sinα=?1?52. 答案：A 2.使
1?cos?cos??11?cos??sin?成立的α的取值范围是（ ） 3
A.2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z） B.2kπ-π≤α≤2kπ（k∈Z） C.2kπ+π＜α＜2kπ+3
?2（k∈Z） D.只能是第三或第四象限 解析：∵1?cos?(1?cos?)21?cos1?cos???1?cos2??|sin?|, 若
1?cos?cos??1|sin?|?sin?，则sinα＜0， ∴角α的终边落在x轴的下方区域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）. 答案：A
3.已知sin??cos?sin??cos?=2，则sinθ2cosθ的值为（ ）
A.3334 B.±10 C.10 D.?310 解析：已知等式两边平方得1?2sin??cos?1?2sin??cos?=4，从而sinθ2cosθ=310.
答案：C
4.已知sinαcosα=38且?4＜α＜?2，那么cosα-sinα的值是（ ） A.12 B.?1112 C.?4 D.±2 解析：∵
?4????2，∴sinα＞cosα.
∴cosα-sinα＜0.
又（cosα-sinα）2
=1-2sinαcosα=1-2338?1?314?4， ∴cosα-sinα=?12. 答案：B
5.已知tan（π+α）=?34（3?2＜α＜2π），则cos（?2+α）=_______________.
解析：∵tan（π+α）=tanα=?3?4，而cos（2+α）=-sinα，
由tanα=sin?2sin2?9cos?，得tanα=1?sin2?.∴16?sin2?1?sin2?，即sin2
α=925.
注意到
3?2＜α＜2π，∴sinα＜0，即sinα=?3?35，从而cos（2+α）=5. 答案：35
6.设tan（5π+α）=m（m≠0），则
sin(3???)?cos(???)sin(??)?cos(???)=_________________.
4
解析：tan（5π+α）= tanα=m， 而所求函数式=答案：
?sin??cos?sin??cos?tan??1m?1???.
?sin??cos?sin??cos?tan??1m?1m?1 m?12
7.设sinθ、cosθ是方程4x-4mx+2m-1=0的两根且_____________.
解析：由题意可知sinθ+cosθ=m，sinθ2cosθ=∴（sinθ+cosθ）=m.
2
∴1+2sinθ2cosθ=m. 从而1+
2
2
3?＜θ＜2π，则实数m的值为22m?1， 42m?122
=m，∴2m-2m-1=0. 2解之,得m=
1?3. 2又θ∈（
3?，2π），∴sinθ2cosθ＜0. 211?3.∴m=. 22∴2m-1＜0，即m＜
答案：
1?3 2
8.当α∈（0，
?）时，化简1?2sin?cos??1?sin?cos?. 422解：原式=(sin??cos?)?(sin??cos?)=|sinα-cosα|+|sinα+cosα|，∵α∈
（0，
?），0＜sinα＜cosα， 42?（＜α＜π），求sinα-cosα的值. 23∴原式=-（sinα-cosα）+sinα+cosα=2cosα. 9.已知sin（π-α）-cos（π+α）=
解：由已知，得sinα+cosα=
272，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=?.
993又
?＜α＜π， 22∴sinα-cosα=(sin??cos?)?1?2sin?cos??1?(?)?2
794. 310.已知θ∈［0，2π），而sinθ、cosθ是方程x-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.
5
解：∵sinθ、cosθ是方程x2
-kx+k+1=0的两实数根，∴??sin??cos??k,sin??cos??k?1.
?代入（sinθ+cosθ）2
=1+2sinθcosθ中整理可得k2
=1+2（k+1），即k2
-2k-3=0. ∴k=-1或k=3（舍）.
代回原方程组得??sin??cos???1,?sin?cos??0.
∴??sin??0,?sin?cos???1或??1,?0, ???cos?即θ=π或θ=
3?2. 6