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第四讲 正弦函数、余弦函数的图像和性质
知识梳理 1. 周期函数
对于函数f?x?，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f?x?T??f?x?
那么函数f?x?就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f?x?的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f?x?的最小正周期.
2. 正弦函数图像
y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1o3?2?2?2?5?23?7?24?
x
正弦函数的定义域是_______,最大值是______，最小值是______，周期是________,对称轴是__________________,对称中心是_____________；递增区间是_________________________，递减区间是__________________________．
3. 余弦函数图像
y=cosx-4?-7?2-5?-3?2-?-2?-3?2-?2y1-1o?2?3?22?5?23?7?24?x余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是______，周期是________,对称轴是__________________,对称中心是____________；递增区间是_________________________，递减区间是__________________________．
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y3.正切函数图像
由图像观察，正切函数的周期是______________,
对称中心是________________________________.
递增区间是_______________________________ -3?2-?-?2y=tanxo?2?3?2x 例题全解分析 题型一 三角函数的图像
【例1】 画出下列函数的图像： （1）y?1?sinx，x??0,2??； （2）y??cosx，x??0,2??； （3）y?1?cos2x
【变式1-1】求下列不等式的解集：tanx??1.
【变式1-2】求函数y?
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2sinx?1的定义域.
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题型二 三角函数的周期
【例2】 求下列函数的周期： （1）y?sin34x，x?R；
（2）y?cos4x，x?R； （3）f?x??1cosx，x?R；
2（4）f?x??sin1?????3x?4? ?
【变式2-1】求下列函数的周期：（1）y?sinx，x?R； （2）y?sinx，x?R
（3）y?sinx2，x?R
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题型三 求值域、最值
【例3】 求下列函数的值域：
（1）y?sinx?sinx；（2）y?2sin?2x?????3??，x???????,? ?66?
【变式3-1】（1）求y?asinx?b?a,b?R,a?0?的最值； （2）求y?cos2x?sinx，x???????,?的值域； ?44?（3）求函数y?cos2x?3sinx的最大值. （3）若函数y?a?bcosx的最大值是与最小值及周期. （4）求y?
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32，最小值是?12，求函数y??4asinbx的最大值
3sinx?1sinx?2的最值.
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题型四 求函数的单调区间
【例4】 已知函数y?sin??1?2x????，x???2?,2??. 3?（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间.
【变式4-1】（1）求函数y?2sin??3x?的单调递增区间；
????3x?，x??6?????的单调递增区间；
??2,2???（2）求函数y?3sin?（3）求函数y?cos?????2x?的单调递减区间； ?3??x?2（4）求函数y??cos?????的单调递增区间.
3????（5）求函数y?log1sin?2x??的单调递减区间.
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