专题16 空间角
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、 b都成600角的直线有（ C ）
A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条
2．在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与 二面角的另一个面所成的角为 （ A ）
A．300 B．450 C．600 D．900 3．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=90，点D1、F1 分 别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1 所成角的余弦值是（ A ）
1A．30 B． C．30 D．15
21015104．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26， 则侧面与底面所成的二面角等于
0?． 35．PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
3． 36．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， (1) 求直线A1C与DE所成的角；
(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角； (3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。 【专家解答】
(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直 线AD于P，则?A1CP（或补角）为异面直线A1C与 DE所成的角。在ΔA1CP中，易得
A1C?3a,CP?DE?15513。 a,A1P?a，由余弦定理得cos?A1CP?1522故异面直线A1C与DE所成的角为arccos15。 15（2）??ADE??ADF，
∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。 而B1EDF是菱形，∴DB1为∠EDF的平分线。故直线 AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1．在RtΔB1AD中，
AD?a,AB1?2a,B1D?3a,则cos?ADB1?3。 3
3。 3（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。
235， 在RtΔDOE中OE?a,OD?a,DE?a222OD?OE30则由面积关系得OM??a。
DE10OH30在RtΔOHM中sin?OMH?。 ?OM6故直线AD与平面B1EDF所成的角为arccos故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为arcsin30 6★★★高考要考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大. 【热点透析】 1．转化思想：
① 线线平行?线面平行?面面平行,线?线?线?面?面?面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法
★★★高考将考什么
【范例1】在120的二面角??a??中，A??,B?? ，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求
（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面β所成的角。
解：（1）如图所示，在平面α内，过A作AC⊥α，垂足为C；在平面β内，过B作BD⊥β，垂足为D；又在平面β内，过B作BE//CD， 连结CE，则∠ABE为AB与α所成的角，CE//BD， 从而CE⊥α，∠ACE=1200，∠AEB=900。
在ΔACE中，由余弦定理得
0AE?AC2?EC2?2AC?ECcos1200
?22?42?2?2?4cos1200?27
7在RtΔAEB中，sin?ABE?AE?7。故直线AB与棱a所成的角为arcsin
5AB5（2）过点A作AA???，则垂足A?在?的另一半平面上。
在RtΔAA′C中，AA??ACsin600?3。
AA?AB在RtΔAA?B中，sin?ABA???310。
故直线AB与平面β所成的角为arcsin3 10【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。
【文】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2． E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值． 解：（I）以A为原点，AB,AD,AA1分别为 x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2), 故DE?(3,?3,0),EC1?(1,3,2),FD1?(?4,2,2) 设向量n?(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有
n?DE?3x?3y?0?1?????x?y??zx?3y?2z?0?2n?EC1??zzz?n?(?,?,z)?(?1,?1,2),其中z?0222取n0?(?1,?1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量, ?向量AA1?(0,0,2)与平面CDE垂直,?n0与AA?为二面角C?DE?C1的平面角1所成的角?cos???tan??n0?AA1|n0|?|AA1|??1?0?1?0?2?21?1?4?0?0?4?6322（II）设EC1与FD1所成角为β，则
cos??EC1?FD1|EC1|?|FD1|?1?(?4)?3?2?2?212?32?22?(?4)2?22?22?21。 14【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。
【范例2】如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2， E为PD的中点 （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别
为A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.
设AC与PB的夹角为?，则cos??∴AC与PB所成角的余弦值为1，2). 2AC?PB|AC|?|PB|?327?37， 1437 14（Ⅱ） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则ME?(?x,???12,1?z)
??NE?AP?0,由NE⊥面PAC可得?
??NE?AC?0,1?(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,??2即?
1?(?x,,1?z)?(3,1,0)?0,?2???z?1?0,3,??x?化简得???16
?3x??0.??2??z?1.即N点的坐标为（
33，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1， 66解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=
1175PB=，AE=PD=， 222275?44?317, 即AC与PB所成角的余弦值为317 ∴cosEOA?141472??12?（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则?ADF?.
6AD233?,AF?ADtanADF?连PF，则在RtΔADF中DF=.
cosADF331?设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC ∴N点到AB的距离=
113AP=1，N点到AP的距离=AF= 226【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生
分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在
方法二中注意用分析法寻找思路。
【文】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，?CBA??BAD?90，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。
（1）求证：AB?平面BCD
（2）求异面直线BC与AD所成的角。
解：(1)在梯形ABCD中,AC?DC??2,AD=2，
?AC2?DC2?AD2，?AC?DC 又BO?平面ACD，故AB?CD 又AB?BC，且BC?CD?C ?AB?平面BCD
（2）因为BA=BC，BO?AC，
?O为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD， OF//BC，所以AD与BC所成的角为?EOF或其补角. 作FH//BO交AC于H，连结HE, 则FH?平面ACD
?2??32??2?7???????? ?EF2?FH2?EH2?FH2?HC2?EC2???4??4??2?4??????1在三角形EOF中，又?FO?，EO=1
21?由余弦定理知cos?EOF??,??EOF?120
2?故异面直线BC与AD所成的角为120
222【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
【范例3】如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，?A1AB??A1AC,AB?AC,
A1A?A1B?a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120?，E、F分别是棱 B1C1、A1A的中点
（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角 （Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC
（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积 解：（Ⅰ）过A1作A1H?平面ABC，垂足为H 连结AH，并延长交BC于G，
于是?A1AH为A1A与底面ABC所成的角
∵?A1AB??A1AC，∴AG为?BAC的平分线
又∵AB?AC，∴AG?BC，且G为BC的中点. 由三垂线定理A1A?BC． ∵A1A//B1B，且EG//B1B，∴EG?BC．
?于是?AGE为二面角A?BC?E的平面角，即?AGE?120．
?由于四边形A1AGE为平行四边形，得?A1AG?60．
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连结PF． 在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP．