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西北5省自治区2011年中考数学专题10:四边形
一、选择题
1. （陕西省3分）如图，在
ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们
相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有
A、2对
B、3对
C、4对
D、5对
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定。
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，利用相似三角形的判定定理，对各对三角形逐一分析：
∵在
ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长
BE交CD的延长线于点H，
∴△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△EBA，△AEB∽△HBC，共4对。故选C。
2.（宁夏自治区3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AB的长是
A．2 B．4 C．23 D．43 【答案】C。
【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】∵在矩形ABCD中，AO=
11AC，DO=BD，AC=BD（矩形的性质）， 22∴AO=DO（等量代换）。
又∵∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形（等边三角形的判定）。
∴∠ADB=60°（等边三角形的性质）。∴∠ABD=30°（直角三角形两锐角互余）。 ∴tan30??32AD?（正切函数定义），即（特殊角的三角函数值）。 3ABAB∴AB=23 。故选C。
3.（宁夏自治区3分）等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是
A、5cm
B、6cm C、7cm
D、8cm
【答案】B。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，等边三角形的判定和性质。
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【分析】过D作DE∥AB交BC于E，
∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义）。 ∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，（平行四边形的性质）；∠DEC=∠B=60°（平行的性质）。 又∵DE= DC，∴△DEC是等边三角形（等边三角形的判定）。 ∴EC=CD=4cm（等边三角形的性质）。∴BC=4cm+2cm=6cm。故选B。
4.（青海省3分）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是
A. 20 B. 14 C.28 D.24 【答案】A。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】根据题意，设对角线AC、BD相交于G，
则由菱形对角线互相垂直平分的性质知，AG=∴根据勾股定理，得AB=5。
∴根据菱形四边相等的性质，这个菱形的周长=4AB=20。故选A。
5.（青海西宁3分）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是 A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
11AC=3，BG=BD=4，且AG⊥BG。 22D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B。
【考点】作图，菱形的判定
【分析】由图形做法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形。故选B。
6.（新疆乌鲁木齐4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于点O，∠BAC=60°，若BC=6，则此梯形的面积为
A．2
B．1?3 C．2?6
D．2?3 【答案】D。
【考点】等腰梯形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，特殊角的三角函数值。
【分析】由等腰梯形轴对称的性质，知点O在其对称轴上，因此OB=OC，OD=OA。 ∵AC⊥BD，∴△OBC和△OAD是等腰直角三角形。
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∴由BC=6，根据勾股定理，可得OB=OC=3。
在Rt△AOB中，由∠BAC=60°，OB =3，根据正切函数定义，可得OA= OD =1。 ∴此梯形的面积为四个直角三角形面积的和：
12?3?3?1?1?2?1?3?2?3。
?故选D。 二、填空题
1.（陕西省3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值 ▲ ． 【答案】25。
【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，
∵DE∥AC，AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形。 ∵AC⊥BD，∴DE⊥BD。 ∴△BDH∽△DEH，∴
DHEH，即DH2?BH?EH。 ?BHDH设y?DH2，x?HC，
则由AC=DE，AD=CE=3，得y??7?x??3?x???x2?4x?21???x?2??25。 ∴当x?2时，y?DH2有最大值25。∴DH的最大值是5。 ∴梯形ABCD面积的最大值是
211（AD+BC）?DH=×10×5=25。 222.（甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ． 【答案】210。
【考点】轴对称（最短路线问题），角平分线的性质，对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，作EO⊥AC，并延长EO交AD于点F，
∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD=90°，∴点E、F关于AC对称。 ∴PE=PF，AE=AF，∴PE+PB的最小值即线段BF的长。 ∵AE=2，AB=6，∴AF=2。
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在Rt△ABF中，由勾股定理得， BF=AF2?AB2?22?62?210。 ∴PE+PB的最小值是210。
3.（青海省2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 ▲ 。（只需一个即可，图中不能添加任何点或线） 【答案】OA=OD（答案不唯一）。
【考点】开放型题，平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE=∠BAD，∠ABO=∠E，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为OA=OD或AB=DE或OB=OE等。 三、解答题
1. （陕西省6分）在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°。
又∵BE⊥AG，DF⊥AG，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。 ∴∠2=∠3，∠1=∠4。 ∴△ADF≌△BAE（ASA）。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等。
2.（宁夏自治区6分）已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形A BCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC。
∵DF=BE，EF=EF，∴AF=CE。 ∵AE=CF，∴△ADF≌△CBE（SAS）。 ∴AD=BC，∠DAC=∠BCA。∴AD
BC。∴四边形ABCD是平行四边形。
【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质。
【分析】因为AE=CF，DF=BE，DF∥BE，所以可根据SAS判定△ADF≌△CBE，即有AD=BC，AD∥BC，故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定。
3.（甘肃天水6分）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，
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