全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题8 立体几何
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一、选择题
1．(优质试题·杭州质量检测)设直线l⊥平面α，直线m?平面β ( )
A．若m∥α，则l∥m C．若l⊥m，则α∥β
B．若α∥β，则l⊥m D．若α⊥β，则l∥m
解析 A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B. 答案 B
2．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则AE·BC等于( ) A．3 C．1
B．2 D．0
→→→→→→→→→→→解析 AE·BC＝(AD＋DE)·BC＝AD·BC＋DE·BC＝AD·(BD＋DC)＝AD·BD＋AD·DC＝0. 答案 D
3．(优质试题·济南模拟)已知直线m，n不重合，平面α，β不重合，下列命题正确的是 ( )
A．若m?β，n?β，m∥α，n∥α，则α∥β B．若m?α，n?β，α∥β，则m∥n C．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n D．若m⊥α，n?α，则m⊥n
解析 由面面平行的判定定理可知A中需增加条件m，n相交才正确，所以A错误；若m?α，，n?β，α∥β，则m，n平行或异面，B错误；若α⊥β，m?α，n?β，则m，n平行、相交、异面都有可能，C错误；由直线与平面
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→→→→→→→
垂直的定义可知D正确，故选D. 答案 D
4.(优质试题·甘肃诊断)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )
解析 由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得AB＝BD＝AD＝2，当BC⊥平面ABD时，BC＝2，△ABD的边AB上的高为3，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选B. 答案 B
5．(优质试题·广州综合测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A．2π
B．4π
C．6π
D．12π
1
解析 依题意，题中的几何体是半个圆柱，因此其体积等于2×π×22×3＝
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6π. 答案 C
6．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则 A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形 1
解析 如图，由题意得EF∥BD，且EF＝5BD. 1
HG∥BD，且HG＝2BD. ∴EF∥HG，且EF≠HG. ∴四边形EFGH是梯形．
又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B. 答案 B
7．(优质试题·北京卷)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )
A．S1＝S2＝S3
B．S2＝S1且S2≠S3 D．S3＝S2且S3≠S1
( )
C．S3＝S1且S3≠S2
解析 根据题目条件，在空间直角坐标系O－xyz中1
作出该三棱锥D－ABC，显然S1＝S△ABC＝2×2×21
＝2，S2＝S3＝2×2×2＝2.故选D. 答案 D
8．(优质试题·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 32πA.3
B．4π
C．2π
4πD.3
( )
第3页
解析 如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC＝2， ∴对角面ACC1A1为正方形， ∴外接球直径2R＝A1C＝2，∴R＝1， 4π
∴V球＝3，故选D. 答案 D
9．如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于
( )
A．22
B.3
C.5
D.7
解析 设正方体的棱长为2，建立以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，EB＝(1，2，0)，EF＝(－1，0，1)．易知平面BCC1的一个法向量为CD＝(0，－2，0)，设平面EFC1B的法向量为m＝(x，y，z)，则m·EB＝x＋2y＝0，m·EF＝－x＋z＝0，令y＝－1，则m＝(2，－1，2)，
→
m·CD21→故 cos〈m，CD〉＝＝＝，tan〈m，CD〉＝22.故所求二面角
→3×23|m||CD|
→→→→→→的正切值为22. 答案 A
10．正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都为2，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为 3A.5
5B.6 36D.10 第4页
( )
33C.10
解析 如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E－xyz. 则E(0，0，0)，F(－1，0，1)，B1(1，0，2)，A1(－1，0，2)， ?13?
C1(0，3，2)，G?－，，2?.
?22?
→→→?1?3
∴B1F＝(－2，0，－1)，EF＝(－1，0，1)，FG＝?，，1?，设平面GEF
?22?→
EF＝－x＋z＝0，?n·?z＝x，
的一个法向量为n＝(x，y，z)，由?→1得? 3y＝－3x.FG＝2x＋2y＋z＝0，??n·令x＝1，则n＝(1，－3，1)，设B1F与平面GEF所成角为θ，则 sin θ＝| cos〈n，B1F〉|＝答案 A 二、填空题
11．(优质试题·太原模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
→3
＝5. →|n||B1F|
|n·B1F|
→
解析 由三视图可得该几何体是一个侧放的直四棱柱，该四棱柱的底面是上底、下底、高分别为2，4，4，腰长为17的等腰梯形，所以两个底面面积和1
为2×2×(2＋4)×4＝24，侧棱长为4，所以侧面积为(2＋4＋217)×4＝24＋817，表面积为24＋24＋817＝48＋817. 答案 48＋817
12．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，
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