??AL?2?B?2cos(2?)，式中A和B均为常数，且A??B，L?2是角动量平方算符。试H用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并算出微扰后的零级近似波函数。
46.（3、10）对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e??x，?为参数。用变分法求基态能量，并与严格解进行比较。
47. （3、10）一维无限深势阱加上如图所示的微扰， 则 势函数为
2?V0?x(V0为小量）0?x?aV(x)??a
?x?0或x?a??V0 试用微扰论求基态能量本和波函数至一级近似。
48. （10）氢原子处于基态：沿z方向加一个均匀弱电场?，视电场为微扰。求电场作用后的基态波函
数（一级近似），能级（二级近似），平均电矩和电极化系数（不考虑自旋）。
Ax(A?0)x?0?49.（10）考虑体系H?T?V(x)，且V(x)?{，
?x?02b??x2a. 利用变分法，取试探波函数为?1(x)?()1/2e2b，求基态能量上限；
2b.我们知道，如试探波函数为?2(x)?(1b?)1/22x2b2，则基态能量上限为eb?x2811/3A2h21/3E2?()()。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？
4?m50.（10）以?数。 已知
?e??x?2为变分函数， 式中?为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函
?0x2nexp??x2dx???1?3? ??（?2n?1)? n?12n?12a51.（10）质量为?的粒子在一维势场V(z)????,z?0中运动，式中G?0。
?Gz,z?0 （1）用变分法计算基态能量时，在z?0区域内的试探波函数应取下列波函数中的哪一个？为什
么？
(a)z??z2,（2）算出基态能量。
(b)e??z,?2(c)ze??z,(d)sin?z
[提示：必要时可利用积分公式：ze0?n??zdz?n!] ?n?1??,52.（10）质量为 m 的的粒子在势场 V(x)??2?Cx,x?0x?0(C?0) 中运动。
(1) 用变分法估算粒子基态能量，试探波函数取?(x)?Axe??x,?为变分参量。 (2) 它是解的上限，还是下限？将它同精确解比较。
（附：积分公式
?0?xne??xdx?n!） an?1??53.（10）（1）设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B?Bk中，不考虑自旋，在弱磁场下，求n?2????能级的分裂情况；（2）如果沿z方向不仅有静磁场B?Bk，还有均匀静电场E??0k，再用微
扰方法求n?2能级的分裂情况（取到一级近似，必要时可以利用矩阵元
?200|z|210???3a）。
54.（11）设体系的Hamilton量为H???????10??，频率?是实常数。 ??01? （1）求体系能量的本征值和本征函数；
1?1?? （2）如果t?0时体系处于?i??状态，求t?0时体系所处的状态； 2??（3）如果t?0时体系处于基态，当一个小的与t有关的微扰H'?e?t??在t?0时加上后，求t??时体系跃迁的激发态的几率
55.（11）设|n?(n?1,2,3,?)为一维谐振子的能量本征函数，且已知
?0??? ???0?x|n???1?n?1n|n?1??|n?1???，????22?m? ?（1） 求?m|x2|n?；
2?2kt（2） 设该谐振子在t?0时处于基态|0?，并开始受微扰H'?xe的作用。求经过充分长时
间（t??）以后体系跃迁到|2?态的几率
56. （11）中微子振荡实验发现：电子中微子可以转变为缪子中微子。我们用波函数1表示电子中微
子，2表示缪子中微子，用非对角项不为零的2?2矩阵表示哈密顿量，计算表明中微子将在电
子中微子态1和缪子中微子态2间振荡。假设：1???，2???，中微子波函数可表示
?1??0??0??1???g?为：??a1?b2，a?b?1，中微子哈密顿量的矩阵表示：H???，其中?和gg???22都是实数；波函数随时间的演化满足薛定谔方程：H??i?(1)中微子哈密顿的本征方程是Hd? dt????，求对应本征值和归一化本征矢量；
(2)假设t?0时，全部是电子中微子：?(0)?1；证明t?t时，中微子波函数是
?(t)?ei?t??gt???cos()?；
???gt???isin()?????(3)求t?t时电子中微子转变为缪子中微子的几率
57. （11）基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
当t?0?0, ??? ?t/?当t?0(?为大于零的参数)??0e, 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。
58.（11）一个定域（空间位置不动）的电子处于z方向强磁场Bz中，自旋朝下（z轴负方向）。此时加上一个y方向交变弱磁场Bycos(?t)，其频率?可调。自旋朝上与朝下的能量差可写成??0。在?0????1的条件下，用微扰方法求出很短时间?后粒子自旋朝上的几率。 59.（12）带有电荷q的一维谐振子在光照下发生跃迁。 （1）给出电偶极跃迁的选择定则；
（2）设照射光的强度为I(?)，计算振子由基态到第一激发态的跃迁速率（如必要，可利用递推公式x?n(x)??1?nn?1?(x)??(x)。 ??进行计算）n?1n?1??22?60.（12）质量为?的高能粒子被中心力势V(r)?Ae?r2/a2(A?0,a?0)散射，求散射微分截面
?(?)和总截面?t。
61.（12）用玻恩近似法求粒子在势能U[提示：必要时可用积分公式
?r???U0e?r/a,a?0，时的微分散射截面。
2mn222，m?0] (m?n)?，入射粒子质量为?，r??0xe?mxsinnxdx?62.（12）试用玻恩近似公式计算库仑散射的微分截面?(?)，库仑势为V(r)??速度为v，?为实数。[提示：必要时可用积分公式：sinqrdr?0?1] q