全国名校高考数学复习优质培优专题，优质学案汇编（附详解）
专题四 恒成立问题
1．参变分离法
例1：已知函数f?x??lnx?a，若f?x??x2在?1,???上恒成立，则a的取值
x范围是_________． 【答案】a??1
【解析】lnx?a?x2?xlnx?a?x3?a?xlnx?x3，其中x??1,???，
x?只需要a??xlnx?x3?max．
11?6x2令g?x??xlnx?x，g?x??1?lnx?3x，g?1???2，g?x???6x??0，
xx3'2'''?g'?x?在?1,???单调递减，?g'?x??g'?1??0?g?x?在?1,???单调递减，
?g?x??g?1???1，?a??1．
2．数形结合法
π?0,例2：若不等式logax?sin2x?a?0,a?1?对于任意的x????都成立，则实
?4?数a的取值范围是___________．
π?【答案】a???,1?
?4?π?0,【解析】本题选择数形结合，可先作出y?sin2x在x????的图像，
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a扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得
0?a?1，观察图像进一步可得只需
x?π时，logax?sin2x， 4444?4?π?即logaπ?sin2?π?1?a?π，所以a???,1?．
3．最值分析法
例3：已知函数f?x??alnx?1?a?0?，在区间?1,e?上，f?x??x恒成立，求
a的取值范围___________．
【答案】a?e?1
【解析】f?x??x恒成立即不等式alnx?x?1?0恒成立，令
g?x??alnx?x?1，
?只需g?x?min?0即可，g?1??0，
g'?x??aa?x?1?，令g'?x??0?a?x?0?x?a（分析g?x?的单调性） xxx当a?1时 g?x?在?1,e?单调递减，则g?x0??g?1??0
(思考：为什么以a?1作为分界点讨论？因为找到g?1??0，若要不等式
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成立，那么一定从x?1处起g?x?要增（不一定在?1,e?上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以a?1时导致g?x?在x?1处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当a?1时，分x?a是否在?1,e?中讨论（最小值点的选取） 若1?a?e，单调性如表所示
??g?1??0???a?e?1，?e?1?a?e． ??g?e??0（1）可以比较g?1?，g?e?的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在x?1，x?e处取得，所以让它们均大于0即可．
（2）由于x?1，x?e并不在?1,e?中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若a?e，则g?x?在?1,e?上单调递增，?g?x??g?1??0，符合题意， 综上所述：a?e?1．
对点增分集训
一、选择题
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1．已知函数f?x?????ln??x?1?,2??x?3x,x?0x?0，若f?x???m?2?x?0，则实数m的取
值范围是（ ） A．???,1? 【答案】B 【解析】
B．??2,1?
C．?0,3?
D．?3,???
若f?x???m?2?x?0，即有f?x???m?2?x，分别作出函数f?x?和直线
y??m?2?x的图象，
由直线与曲线相切于原点时，?x2?3x?'?2x?3，则m?2?3，解得m?1， 由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有0?m?2?3，解得?2?m?1．故选B．
2．已知函数f?x???x3?2x2?4x，当x???3,3?时，f?x??m2?14m恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．??3,11? 【答案】C
【解析】由题意可得：f'?x???3x2?4x?4???x?2??3x?2?，
2?40令f'?x??0可得：x1??2，x2?2，且：f??3???3，f??2???8，f?，???B．?3,11? C．?3,11? D．?2,7?
3?3?27全国名校高考数学复习优质培优专题，优质学案汇编（附详解）
f?3???33，
据此可知函数f?x?在区间??3,3?上的最小值为?33， 结合恒成立的条件可得：m2?14m??33，
求解关于m的不等式可得实数m的取值范围是?3,11?．本题选择C选项．
1?3．若函数f?x??lnx?ax2?2在区间??,2?内单调递增，则实数a的取值范
?2
?
围是（ ） A．???,?2? 【答案】D 【解析】
1?12ax2?1，2ax2?1?0在?f??x???2ax??,2?内恒成立，所以xx?2?
B．??2,???
1??2,?C．???
?8?1??,??D．?? ??8??1?a???2?， ?2x?max1??1??2,2x?由于x??，所以???,4?，???2??4?x1??1?1??2,???，所以a??，故选2?8?8?2x??D．
12?2a4．已知对任意x???e,e?不等式e?x恒成立（其中e?2.71828??，是自然
对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）
e?0,A．???
?2?B．?0,e? C．???,?2e?
4???,D．? ?2??e?【答案】A 【解析】由e上恒成立．
12?令f?x??2lnx，x???,e?，则f'?x??2?1?lnx?x2xa?x2得
12?x12lnx?12?在x???2lnx在x??,e?上恒成立，即??e,e?eaxa????x?e?，