基于窗函数法的FIR数字低通滤波器设计
2.2 典型的窗函数
（1）矩形窗(Rectangle Window)
w(n)?RN(n) （7）
其频率响应和幅度响应分别为：
sin(N?/2)?j?W(e)?esin(?/2)j?N?12，WR(?)?sin(N?/2) （8）
sin(?/2)（2）三角形窗(Bartlett Window)
?2n?N?1,w(n)??2n?2?,N?1?N?12 （9）
N?1?n?N?120?n?j?N?122sin(N?/4)2?j?]e其频率响应为：W(e)?[Nsin(?/2)
（3）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗
12n? w(n)?[1?cos()]RN(n) （10）
2N?1其频率响应和幅度响应分别为：
?j(2?2?W(e)?{0.5WR(?)?0.25[WR(??)?WR(??)]}eN?1N?1?W(?)e?j?aj?N?1)?2
W(?)?0.5WR(?)?0.25[WR(??2?2?)?WR(??)]N?1N?1（4）汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗
2n? w(n)?[0.54?0.46cos()]RN(n) （11）
N?1其幅度响应为：W(?)?0.54WR(?)?0.23[WR(??（5）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗
2?2?)?WR(??)] N?1N?12n?4n? w(n)?[0.42?0.5cos()?0.08cos()]RN(n) （12）
N?1N?1其幅度响应 ：
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基于窗函数法的FIR数字低通滤波器设计
W(?)?0.42WR(?)?0.25[WR(??2?2?)?WR(??)]N?1N?1
4?4??0.04[WR(??)?WR(??)]N?1N?1（6）凯塞(Kaiser)窗
I0(?1?[1?2n/(N?1)]2)w(n)?,0?n?N?1 （13）
I0(?)其中：β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。
若阻带最小衰减表示为As??20log10?s，β的确定可采用下述经验公式：
?0????0.5842(As?21)0.4?0.07886(As?21)?0.1102(A?8.7)s?As?2121?As?50 As?50若滤波器通带和阻带波纹相等即δp=δs时，滤波器节数可通过下式确定：
N?As?7.95?1
14.36?F式中：?F????s??p? 2?2?我们知道，用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数??n?的类型及窗口长度N的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。各种类型的窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见下表1。
表2-1 各种窗函数的基本参数
窗函数 矩形窗 汉明窗 布莱克曼窗 旁瓣峰值幅度/dB 过渡带宽 阻带最小衰减/dB -13 -41 -57
5
4π/N 8π/N 12π/N -12 -53 -74
基于窗函数法的FIR数字低通滤波器设计
这样选定窗函数类型和长度N之后，求出单位脉冲响应h?n??hd?n???n?，并按照式（6）求出H?ej??。H?ej??是否满足要求，要进行演算。一般在h?n?尾部加零使长度满足2的整数次幂，以便用FFT计算H?ej??。如果要观察细节，补零点数增多即可。如果H?ej??不满足要求，则要重新选择窗函数类型和长度N ，再次验算，直至满足要求。
如果要求线性相位特性，则h?n?还必须满足
h?n???h?N?1?n? (14)
根据上式中的正、负号和长度N的奇偶性又将线性相位FIR滤波器分成四类。要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类，例如，要设计线性相位低通特性，可以选择h?n??h?N?1?n?这一类，而不能选择h?n???h?N?1?n?这一类。
我们在设计滤波器时，希望窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带，同时尽可能减小最大旁瓣的相对幅度，我们发现这是不可能的，因为这本身就是一个矛盾体，所以在设计滤波器时只是根据实际情况来选择合适的窗函数。
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基于窗函数法的FIR数字低通滤波器设计
3 几种数字低通滤波器的窗函数设计
3.1 采用矩形窗设计FIR数字低通滤波器
100-10-20-30-4000.511.522.5矩形窗滤波器幅頻响应33.50-10-20-30-4000.10.20.30.40.50.60.7矩形窗滤波器相頻响应0.80.91
图3-1 采用矩形窗设计FIR数字低通滤波器的仿真图
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基于窗函数法的FIR数字低通滤波器设计
3.2 采用汉明窗设计FIR数字低通滤波器
0-20-40-60-8000.511.522.5汉明窗滤波器幅頻响应33.50-20-40-60-8000.10.20.30.40.50.60.7汉明窗滤波器相频响应0.80.91
图3-2 采用汉明窗设计FIR数字低通滤波器的仿真图
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