东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.limf?x????.
x???解：设???0,M?0,?E?0,则当x??时,就有f(x)?M?E. 2.当x?a?时,f(x)不以A为极限.
解：设???0,?E?0,使得当x?a??时,f(x)?A?E. 二、计算（9分×7=63分）
1． 求曲线y?ln(1?x2),0?x?解s?112的弧长。
：
???1?[f'(x)]dx?2?201?(?2x1?x21)dx?2?1?x21?x2210dx??20(11?x?11?x?1)dx?ln3?12
2． 设u?f(x,y,z),g(x2,ey,z)?0,y?sinx,且己知f与g都具有一阶连续数，
?g?z?0,求dudx.
偏导
解：由g(x2,ey,z)?0,知2xg1dx?eyg2dy?g3dz?0,从而y=f1?cosx?f2?(2xg1?cosx?eg2)f3
dudx??f?x??f?y?x??y??f?z??z?x
3.求?(lnxx)dx
lnxx2解：令t?lnx,则x?e,dx?edt,?((lnx)?2lnx?2x?axtt)dx?2?et22t?edt=?tedt??tet2?t2?t?2te?t
2?2e?t?C???C
4.求lim解
lim?a?x?xx2x?0(a?0)
：
?a?x?xx2?axx?0==
{1?xlna??limx?0x22[(lna)?21a?1]?o(x)}?[1?xlna?x22x22(lna)?o(x)]22
=
1?a2a
2225.计算第二型曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中S是曲面z?x2?y2夹于z?0S与z?1之间的部分，积分沿曲面的下侧。
解：记P(x,y,z)?x2,Q(x,y,z)?y2,R(x,y,z)?z2，x?rcos?,y?rsin?则z?r2，且0?r?1,0???2?
??Sxdydz?ydzdx?zdxdy2d??2r(rcos??rsin??r)dr=?
01222=
??2(x?Sy?z)dxdydz=
?2?06．求常数?，使得曲线积分?滑闭曲线L成立。 解：
7．在曲面x?y?22xyLrdx??xy22rdy?0,r??x?y22对上半平面的任何光
z24?1,(x?0,y?0,z?0)上
标轴上的截距的平方和最小。 解：设F(x,y,z)?x?y?z222z24?1,则
?F?x?2x,?F?y?2y,?F?z?z2,故所求切平面方程为：
2x(X?x)?2y(Y?y)?(Z?z)?0,求得在三个坐标轴上的截距分别
为:X?4x?4y?z4x?Y2222,Y?4x?4y?z4y222222,Z?4x?4y?zz1?1z2222,
d?X2?Z2?(4x?4y?z)(2116x2?16y2)=
1x2?1y2?16z2
令则
?P?xP(x,y,z)?1x2?1y2?16z2??(x?y?22z24?1)
??2x3?2x??0,?P?y??2y3?2y??0,?P?z??32z3?12z??0,x?y?22z24?1,解得x?y?12,z?2,??16,dmin?16
三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
??1． 讨论级数?n?1?nsinx1?x0dx的敛散性。
解:
2． 设f(x)在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切x?[0,2]，均有
f(x)?1,f''(x)?1。证明对一切x?[0,2]，成立f'(x)?2。
解
f(0)?f(x)?f'(x)(0?x)?f(2)?f(x)?f'(x)(2?x)?f(2)?f(0)?2f'(x)?2f'(x)?f(2)?f(0)?1212f''(?)2f''(?)2(0?x),(2?x)
2222：
[f''(?)(2?x)?f''(?)?x] [f''(?)(2?x)?f''(?)?x]
22f'(x)?1212f(2)?f(0)?1212[f''(?)(2?x)?f''(?)?x]?12122212x2f(2)?12f(0)?
f''(?)?(2?x)2?f''(?)?x2?1?(2?x)?2?(x?1)?22，
f'(x)?2.
3． 证明积分?证
??0xe?xydy在(0,??)上不一致收敛。
明
?xy:
m2设???0,?m1,m2?0,并且当m1?m2??时,
?xy?m2m1xe1dy???,取??12m1e?xyd(?xy)?[?e?]m12?em?m1x?e?m2x?e?m1x(1?e(m1?m2)x)取
x??,则???m10xe?xydy>e?(1?e)?e?2m1(1?e)?A(1?e)(A为一常数)
4． 证明函数f(x)?12xxlnx在[1,??)上一致连续。
证明：f'(x)?lnx?xx?lnx?22x
f''(x)?1?2lnx?12xx?0,x?1,f'(x)max?1
由拉格郎日中值定理,?x1,x2?[1,??),则当x1?x2??f(x1)?f(x2)?f'(?)?x1?x2