一
1.解：设???0,M?0,?E?0,则当x??时,就有f(x)?M?E. 2.
解：设???0,?E?0,使得当x?a??时,f(x)?A?E. 二 1． 解
：
??s??1?[f'(x)]2dx?11?1202?2x21?x11122(1?()dx?dx???1)dx?ln3? 22??001?x1?x21?x1?x2．
解：由g(x,e,z)?0,知2xg1dx?eg2dy?g3dz?0,从而=f1?cosx?f2?(2xg1?cosx?eyg2)f3 3.
2yydu?f?f?y?f?z????? dx?x?y?x?z?xlnx2t2t)dx??2t?edt=?t2e?tdt??t2e?t?2te?t 解：令t?lnx,则x?e,dx?edt,?(xett(lnx)2?2lnx?2?C ?2e?C??x?t4. 解
x?a?x??axlimx?0：==
x2x21x222{1?xlna?[(lna)??1]?o(x)}?[1?xlna?(lna)2?o(x2)]2a2?lim 2x?0x=
1?a 2a三
z2?F?F?Fz?1,则?2x,?2y,?,故所求切平面方程为：解：设F(x,y,z)?x?y? 4?x?y?z222z2x(X?x)?2y(Y?y)?(Z?z)?0,求得在三个坐标轴上的截距分别
2
4x2?4y2?z24x2?4y2?z24x2?4y2?z2为:X?,Y?,Z?,
4x4yz1111116= d?X2?Y2?Z2?(4x2?4y2?z2)2(??)??16x216y2z2x2y2z21116z222令P(x,y,z)?2?2?2??(x?y??1)
4xyz则
z2?P2?P2?P32122?1,??3?2x??0,??3?2y??0,??3?z??0,x?y?4?x?y?z2xyzx?y?四 证明：由已知
1,z?2,??16,dmin?16 2???a0??b???tf(a)dt收敛，?0tf(b)dt收敛.又因为Ata?t??tb，所以?0tdt在
?a,b?上一致收敛.又因为f(t)在?a,b?上连续，所以有界.所以?0??t?f(t)dt在?a,b?上一致
收敛.
五 证
：
任
意
p0(x0,y0,z0)?R3.则过
p0切平面方程为
Fx(p0)(x?x0)?Fy(p0)(y?y0)?Fz(p0)(z?z0)?0.因为f(x,y,z)是n次齐词的，所以x0Fx(p0)?y0Fy(p0)?z0Fz(p0)?nf(p0)xx(F0?)p过(0,0,0) 六
证明：f'(x)?y，又因为
grandf?0，且
y(?F)0z0,y?00,z?0.所以f(x,y,z)?0上所有平面，所以p0?(zx?)Fp12xlnx?xlnx?2 ?x2xf''(x)?1?2lnx?12xx?0,x?1,f'(x)max?1
由拉格郎日中值定理,?x1,x2?[1,??),则当x1?x2??f(x1)?f(x2)?f'(?)?x1?x2 ?xn1.证明：因为n2?1，所以R?1。又因为R?1，又因为x?1时，?2nln(n?1)n?1nln(1?n)?(?1)nxn收敛x??1时，?2收敛.所以?2在??1,1?上收敛 n?1nln(1?n)n?1nln(1?n)?xn（1）因为2在??1,1?上连续，所以f(x)连续. nln(1?n)xn（2）因为f(x)??2，f'(x)?n?1nln(1?n)??xn?1 ?n?2nln(1?n)??1(?1)n?1(?1)n?1当x??1时，?收敛，单调递减趋于0所以?收敛 ln(n?1)nnln(1?n)n?2n?2当f(?1)存在，当x?1时，因为 '1'发散，所以f(1)不存在 ?n?2nln(n?1)111??1? nnln(1?n)n11?n?所以f(x)在x? 1不可导.又因为 而 1'f(x)??? (1?) ???，所以lim??x?1nn?2?八 （?）因为f(x,y,z)是调和函数，所以 ?f?P?Qds?(?)?0 ??????n?y?x?L（?）因为有 ?f?P?Q?，所以. ，所以f(x,y,z)是调和函数. ds?0????y?x?n?