第四章 解析函数的幂级数表示法
（一）
1.解法1 因为
??n?1i11111?1?nn?1???????(?1)????i(1?????(?1)??)n242n352n?1???n，
而交错级数?n?1(?1)2nn?与?n?1(?1)n?1?2n?1是收敛的，?n?0in?n??n?01n发散的，所以原级数是
条件收敛. 解法2
(1)其部分和数列 S4n?(?12?14???14n)?i(1?13?15???14n?1
n?? 由交错级数收敛性判别及极限运算法则知limn??S4n存在,设为limS4n?l,又有
a4n?1?i4n?1?0,a4n?2??14n?2?0,??
in? 由此得知limn??Sn?l,因此级数收敛,但?n?0n??n?01n发散，所以原级数是条件
收敛.
6?n?1 (2)因为?n?1(3?5i)n!n???n?11n!?(34)??n?1n6nn!, 且limn??(n?1)!6n?0?1
(n)!?所以?n?16nn!收敛，可知原级数绝对收敛.
(3)由于limn??nan?limn1?5i2n?1?5i2?262?1,故原级数发散.
n??2.解:(1)R?limn??cncn?1?limn??n?1nn?1
(2)R?limn??cncn?11?lim2n??n?1?2
(3)R?limn??limcnn??1n?0
n3.证明:(1)如果limn??cn?1cn????,则limcn?1cn????n??,则级数的收敛半径为
?1cn?1?lim? R???n??cn????
??0??0
(2)由(1)可证其收敛半径为R.
(3)由(1)可证其收敛半径为R.
????4.证明:因为?n?0cnz0?n?n?0cnRn收敛,而当
z?R时, ?n?0cnzn??n?0cnRn,因此
由优级数判别法，级数在5.解:(1)因为u?1时,
11?uz?R?上绝对收敛且一致收敛.
nn??n?0(?1)u,所以当
abz?1时,有
1az?b?b(1abz?z?1)?b1?(?1)(nabz)n，
z?ba
n?0?n (2)因为ez??n?0n!,z???,而 ez在z平面解析,所以
2 ez2???n?0z2nn!,(z???)
逐项积分得 ?zez2?dz?0?n?0z2n?1n!(2n?1)?(z???)
? (3)因为 如果limz?0sinzz?1z?n?0(?1)nz2n?1(2n?1)!??n?0(?1)nz2n(2n?1)!
f(0)?1,于是上式
sinzz?1,则z?0为可去奇点,可补充定义被积函数
收敛范围为 ?zz???,合于逐项积分条件,所以
?sinzzdz?0??0z(?1)nz2n?n?0(2n?1)!1?dz??n?0(?1)nz2n?1(2n?1)(2n?i)!?(z???)
(4)sin2z?1?cos2z2?12??2(?1)n(2z)2nn?0(2n)!?1?2(?1)n?1(2z)2nn?0(2n)!(z???)
(5) 解法1 因为
?f(z)?(1?z)?2,f(n)(0)?(n?1)!
从而
f(z)??n?o(n?1)z,(|z|?1)n，
解法
?1?1?2 因为???2(1?z)?1?z?1(1?z)2??n?1，且
11?z???n?0z,z?1n，
所以7.解:(1)
??n?1nz??n?0(n?1)z,z?1n
sinz?sin[(z?1)?1]?sin(z?1)cos1?cos(z?1)sin1
?=cos1?n?0(?1)n?(2n?1)!(z?1)2n?1?sin?n?0(?1)n(2n)!(z?1)2
?=?k?01k!sin(k?2?1)(z?1),|z?1|???k
(2)
z?1z?1?z?12?1?1z?12,再由公式
11?z???n?0(?1)znn(z?1)，得
z?1z?1???n?0(?1)n12n?1(z?1)n?1，(z?1?2)
?2(3)
zz2?2z?5?14[(z?1)?1]1?(1z?12)2,结合
11?z??n?0(?1)zn2n(z?1)得
在z?1?2内
??zz?2z?52?14[(z?1)?1]1?(1z?122n?)214[?(?n?014)(z?1)n2n??n?0(?14)(z?1)n2n?1],
8.解:(1)z2(ez2??1)?z(?n?02z?n!?1)?z4?n?1z2(n?1)?n!,令?(z)??n?1z2(n?1)n!在z???内解析，在?(0)?0，故z?0为4级零点.
? (2)6sinz3?z(z36?6)?6?(?1)?n?1nz2n?1n(2n?1)?z(z36?6)
?1z66z15(15!?z67!??)
令?(z)????，则在z???内解析，且?(0)?0， 故z?0为15级零点.
5!7!9.证明:因为z0为f(z)的m阶零点
f(z)?amm?1m(z?z0)?am?1(z?z0)??
又因为z0为g(z)的n阶零点, g(z)?bb(z?z0)n?bn?1(z?zn?10)??
如果m?n,则
f(z)?g(z)?(z?zn0)[bn?bn?1(z?z0)??]
故z0为f(z)?g(z)的n阶零点.
如果n?m,同理可得z0为
f(z)?g(z)的m阶零点.
如果
m?n,当
am?bm?0时, z0为
f(z)?g(z)的
m阶零点; am?bm?0时,零点z0的阶数大于n.所以z0是
f(z)?g(z)的min?m,n?阶零点.
f(z)g(z)?am?nmbn(z?z0)?(am?1bn?ambn?1)(z?z0)m?n?1??
故z0为f(z)g(z)的m?n阶零点.
g(z)f(z)?(z?zn?mbn?bn?1(z?z0)??0)a
m?am?1(z?z0)?? 由此可见 如果n?m,则z0为f(z)/g(z)的n?m阶零点, 如果m?n,则z0为f(z)/g(z)的m?n阶零点,
如果m?n,则z0为
f(z)/g(z)的可去奇点.
10.证明:利用定理4.17,因z0为解析函数f(z)的至少n级零点,则有
f(z)?(z?z0)mg(z)m?n
当
其中g(z0)?f(m)(z0)m!?0.
?n 同理 ?(z)?(z?z0)?(z)n,其中?(z0)?(z0)n!?0,则
f(n)(n)limz?z0f(z)?(z)?limz?z0(z?z0)g(z)(z?z0)?(z)nn?(z0)(z0)?
本题得证.
11.解:(1)不存在
解 假设在z?0解析的函数f(z)存在，则
f(1)?0,f(11111)?1,f()?0,f()?1,??f()?0,f()?1(n?N?)， 2342n?12n这表明zn?12n?1是f(z)的零点，且由zn?0(n??)由唯一性定理知在z?0的邻域内
12n)?1，矛盾！即f(z)不存在.
f(z)?0，但这与f(
(2)不存在
解 假设在z?0解析的函数f(z)存在，则
f(1)?0,f(111111)?1,f()?0,f()?1,??f()?0,f()?(n?N?)， 2342n?12n2n这表明zn?12n?1是f(z)的零点，且由zn?0(n??)由唯一性定理知在z?0的邻域内
12n)?12nf(z)?0，但这与f(，矛盾！即f(z)不存在.
(3)不存在
解 假设在z?0解析的函数f(z)存在，则
f(1)?1212n,f(12)?1111111,f()?,f()?,??f()?(n?N?)， 234442n2n这表明zn?是f(z)的零点，且由zn?0(n??)由唯一性定理知在z?0的邻域内
12n?1)?12nf(z)?0，但这与f(，矛盾！即f(z)不存在.
(4)存在。因为
我们有f()?n111?1/n.由解析函数的唯一性定理，f(z)?11?z是在原点解析并满足此条
件的唯一的解析函数。