第三讲 小学数学解题的思想方法（二）
问题9：解题的思维方法“类比与联想”
类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。在数学学习中常表现为当新旧知识有相同的属性，而已知的旧知识还有其他属性，由此推出新知识也有同样的或类似的其他属性。
例1.长方形是一个平面，长方体则是底面为长方形（或正方形）的立体，两者之间有一定的联系。长方形的面积公式是通过摆一个个面积单位作直接度量，归纳出面积公式的，于是类比得出长方体体积公式也可以通过摆一个个体积单位作直接度量归纳出体积公式。这是公式推导方法上的类比。
在解决问题的过程中应用类比的方法。如，学生学习了梯形面积公式后，类比计算钢管堆的总根数的题目。
例2.求下面线段上可以找到的不同线段的总条数的解题方法，可以类比到在三角形内可以找到不同的三角形的总个数的解题方法。它们的解题表达式都是：1＋2＋3＝6 .
但必须注意，类比的结果不一定正确，因为类比仅仅是一种推测。如：“甲比乙多30，也就是乙比甲少30”，如果类比得出：“甲比乙多30％，也就是乙比甲少30％”，这个结果就是错误的。类比结果有时发生错误，其原因主要是把某对象的非本质属性来类比其他对象，在类比时，仅从形式上的一致性取代了对象属性间的本质差异。
一般说来，类比结论的可靠性取决于进行类比的两个（或两类）事物所具有的共同属性，及类比推出的结论间是否有必然的联系。如果有，类比推出的结论是正确的，否则就不可靠。所以确认类比对象的共同属性越多，则推测的结论越可靠；确认类比对象的共同属性越带有本质性，则推测的结论也越可靠。
类比推出的结论虽然具有或然性，但在数学问题的求解或证明中，发现数学原理、方法，猜测问题结论，以及发展学生创造性思维能力方面仍具有积极作用。
联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。
在小学数学解题中应用联想的方法，主要是能够唤起学生对旧知识的回忆，沟通新旧知识的联系，加深理解数量关系，提高灵活解题能力。主要表现在以下三个方面。
第一，由相似特点的事物所形成的类似联想。当对数学问题感知时，对具有图形相似、关系相似、方法相似的事物或问题也会产生联想。例如，学习分数基本性质时，联想到除法中的商不变性，认识到两者具有一致性；学习圆柱体体积公式时，联想到圆面积公式是通过剪拼得到的，因此圆柱体体积公式也可以用类似方法求得。
第二，由因果联系的事物形成的因果联想。当对数学问题进行分析时，常常要把有关对象作为一种结果，联想产生它的原因；或反过来，把它作为原因，联想它产生的结果。例如，运用分析法和综合法解应用题时，就是以联想为中介的，根据题中的问题，联想到解决它所需要的条件，或由题中的两个条件，联想到所能解决的问题。
第三，由对比关系形成的对比联想。对具有相反关系或对比关系的数学问题也会产生联想。例如，学习分数基本性质时，由分子、分母同时扩大同数倍，分数大小不变，然后又联想到分子、分母同时缩小同数倍，分数大小也不变。
问题10：解题的思维方法“一般化与特殊化”
一般化是指把研究对象或问题从原有的范围扩大到更大范围进行考察的思维方法。一般化是一
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种特殊的概括，但并不能说就等于概括。概括的特点是把若干个事物或对象的共同点归结在一起，而一般化的特点是把个别事物或对象推广到更普遍的情形。概括是从若干个事物或对象中发现共同规律，是寻求同一性的思维方法。一般化是把某一事物或对象的有关性质加以保留，并置于更大范围的相关事物或对象中加以考察，是利用事物之间的相似性进行思维的方法。 例1. 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数（0除外），所得的分数与原分数哪个大？ 分析与解:这个分数问题，我们可以用实验的方法进行不完全归纳。如比较分数22?46?，是真分数，33?476262与原分数的大小可以知道，?，因此，所得的分数大。还可以进行一些验证，都7373可以得到相同的结论。所以，一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数（0除外），所得的分数大。 如果把这个问题这样给出：“证明真分数的分子和分母都加上同一个自然数（0除外），所得的分数大于原分数。”或者用下面形式叙述为： 如果aa?ma?。 是真分数，m为自然数（零除外），那么bb?mb这是在小学数学范围内研究的。如果把自然数集扩展到正实数集R+,那么原来的问题又可以叙述为下面更一般的情况： 如果a、b、m∈R+，并且a＜b，那么a?ma?。 b?mb就是数学一般化的思维，是把数学问题及其结论推广到更大的范围中去思考，它的证明方法也不是通过几个特殊例子的归纳就可以完成的。作为一个典型的数学问题，对它的进一步推广与讨论，我们将放在本书的第八章再作专题研究。 在小学数学解题中应用一般化的思维方法，重要的是借助于一般性数学问题的规律来解决特殊性的数学问题，也就是“以进求退”思想的具体应用。 特殊化是把研究对象或问题从缩小范围或较小范围、个别情形进行考察的思维方法。由于一般性总是寓于特殊性之中，所以在解决问题的过程中可以通过考察若干特殊情形，利用特殊情形中事物或对象所包含的共性与个性，用比较、归纳、分析、综合的方法把握原有事物或问题的性质。 例2.一只青蛙在一口21米深的井底，它沿井壁每跳一次能跳3米，但休息时又沿井壁下滑2米。如果这只青蛙从井底开始，每跳一次就休息一会，共需要跳多少次才能跳出井口？ 分析与解：如果这样想，青蛙每跳一次，上升3米，休息时又下滑2米，实际上升了1米，由于井深21米，因此就要跳21次。这种解题思路显然是错误的。因为，青蛙跳到快到井口时，再用一次跳3米就可能到达井口，并不是跳1米的问题了；同时21米的井深，数量较大，思路正确与否不容易及时检查。 我们可以用特殊化的思维方法去思考，把井深的米数特殊化，从中找出解题规律。①如果井深是3米，那么青蛙跳1次就能够跳出井口。②如果井深是4米，那么青蛙跳1次休息一会，实际上升了1米；这时青蛙到井口还有3米，根据前面的讨论知道，再跳1次就能跳出井口，共需要2次就能跳出井口。③如果井深是5米，那么青蛙跳1次休息一会，实际上升了1米；这时青蛙到井口还有4米，根据前面的讨论又知道，再跳2次就能跳出井口，共需要3次就能跳出井口。同样的道理，井深是6米时，共需要4次就能跳出井口。由此可见，从这些特殊化的研究中，“井深的米数每增加1米，青蛙跳的次数就增加1次”的规律是正确的。所以，井深是21米时，青蛙共需要19次就能够跳出井口。 在小学数学解题研究中，通过对特殊的或个别的问题的分析、研究，就可以获得一般问题的解题途径和方法，这就是解题中“以退求进”的思维方法。通常也用“极端”的情况进行思考，还可以通过画出具体的图形来解决问题。如，举反例、举特例的方法和画线段图解题的方法，都是特殊
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化的方法。
特殊化与一般化贯穿于整个的数学解题过程中，也就是说特殊化与一般化构成了整个数学解题过程的基础。郑毓信在他的《数学方法论》中指出特殊化的三个解题策略：第一，由随意的特殊化，去很好的了解所面临的数学问题。第二，由系统的特殊化，为认识一般化问题提供基础。第三，由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。这些策略对于我们解决数学问题有一定的启发性。
问题11：算术解法与代数解法的联系与区别
1、算术解法与代数解法的一般概念
应用题的算术解法，就是根据应用题的实际含义和四则运算的意义，首先采用分析、综合、抽象、概括以及具体化等思维方法，分析出应用题中的数量关系，再根据对已知数进行加减乘除运算，计算出问题答案的方法。能够应用这种方法解决的应用题叫做四则运算应用题。
用算术方法解答应用题，关键是分析应用题的数量关系，寻找应用题的解答途径和方法。 在解答应用题的过程中，特别是稍复杂的应用题，对解题思维水平要求较高，一方面对培养学生分析问题和解决问题的能力、培养学生数学思维能力有促进作用，在小学数学教育中有不可替代的地位。但是，应用题的解题学习，也给相当数量的学生造成许多困难，在应用题的教学中，其深度与广度我们还需要继续进行认真地研究与把握。我们要正确认识应用题教学的教育价值和意义。 应用题的代数解法，就是在解答应用题时，选定应用题中一个未知数用字母表示，通过分析应用题中的数量关系，找出已知数与未知数之间的关系（相等关系），列出方程，通过解方程来解答应用题的方法。
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）弄清题意和其中的已知数与未知数，适当选择其中一个未知数用字母表示； （2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； （3）根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程； （4）解这个方程，求出未知数的值； （5）检验并写出答案（包括单位名称）。 2、算术解法与代数解法的区别和联系
算术解法与代数解法是紧密联系的两种解题方法。算术解法是代数解法的基础，而代数解法又是算术解法的发展。
（1）两种解法的区别。应用题的算术解法是经过审题、分析，根据数量关系把应用题中的未知数表达为已知数之间的数量关系式，即要列出一个用四则运算符号把全部的已知数连接起来的一个算式，通过计算求出答案。而代数解法是用一个字母或含有字母的代数式表示应用题中的未知数，把它与已知数等同看待，直接找出数量关系，再列方程，通过解方程来求出答案。
例1.李白无事街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，遇花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。问：壶中原有几斗酒？
这是一道古典问题，是属于逆思考的应用题。
算术解法：我们从最后的结果开始思考。第三次遇花时，壶中有酒1斗（“斗”是古代容量的一个计量单位），这是第三次遇店时的酒数的一倍。因此，第三次遇店时的酒就是（1÷2）斗。这样，第二次遇花时壶中有酒（1÷2＋1）斗。同样的道理，第二次遇店时的酒数为[（1÷2＋1）÷2] 斗。第一次遇花时的酒数为[（1÷2＋1）÷2＋1] 斗。那么，壶中原有酒为：
[（1÷2＋1）÷2＋1] ÷2＝0.875（斗）
代数解法：设壶中原有酒x斗，那么第一次遇店后的酒数为2x斗，第一次遇花后的酒数为（2x－1）斗。同理可知，第二次遇花后的酒数为[2（2x－1）－1]斗，第三次遇花后的酒数为2[2（2x－1）－1]斗，根据题义列出方程：
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2[2（2x－1）－1] ＝1 解这个方程得：x＝0.875。 很清楚，两种解法的主要区别是：解题的分析思路不同。算术解法从第三次遇花时的酒数1斗开始分析，逐步通过算式表达，推出壶中原有的酒数。代数解法则先选定未知数壶中原有酒数x斗，从原有酒数x斗开始，分析确定表达包含未知数x的代数式，找出反映数量关系的等式，列出方程。计算未知数的方法不同。算术解法已经把未知数用已知数的四则运算表达出来，只需脱式计算。而代数解法列出的是含有未知数x的方程，通过解方程或用四则运算关系，求出未知数。 两种解法各有利弊。算术解法分析较繁，不易找到数量关系，分析时不免出现要求这个量，先必须求“那个量”的中间过程，结果引出了若干个新的未知数。但是，从另一角度来看，恰好有利于培养分析问题的能力，有利于智力的开发。因此，尽管小学数学的教学内容进行过多次改革，但应用题算术解法的教学内容始终保留在内，其理由便在于此。 代数解法在分析时，把未知数与已知数同等看待，直接从实际问题中逐步确定数量关系，理解自然，思维明了，能够较好地反映数量之间的相等关系。因此，代数解法容易找到解题方法。学生从小学升到初中以后，再解应用题时，已经很少用算术解法了。对于许多离开小学多年的成年人来说，由于代数解法已经了然于胸，算术解法已经相当生疏，如果硬性要求他们用算术方法解应用题，他们可能是通过代数解法先得出结果，再根据结果去“还原”或反推出算术解法的思维过程与步骤。这就是大家之所以喜欢用代数解法去解应用题的原因。 正是由于应用题算术解法在小学数学教育中不可替代的地位，对于今后将要从事小学数学教学的小学教育专业的学生来说，熟悉并熟练地掌握应用题的算术解法，是一项必须具备的能力。 （2）两种解法的联系。由于应用题中已知数与未知数之间的数量关系，两种解法之间也存在着内在的联系。对两种解法加以讨论，通过分析比较，认识应用题中数量关系的变迁规律和内在联系，就能灵活掌握各种解题方法。 例2.甲仓库存有小麦124吨，乙仓库存有小麦16吨。现在往两仓库运进同样多的小麦，使甲仓库存的小麦的吨数是乙仓库的4倍。两仓库各运进小麦多少吨？ 这是一道属于“差倍问题”的应用题。 算术解法一：可以用线段图直观地表达应用题中的数量关系，如下图所示。 12吨？吨16吨？吨甲仓库乙仓库 已知甲乙两仓库分别存有小麦124吨、16吨，现各运进同样多的小麦以后，甲仓库存的小麦的吨数是乙仓库的4倍，那么甲仓库与乙仓库存有小麦的吨数的差就是（124－16）吨，应该是乙仓库存小麦吨数的（4－1）倍，所以就可以先算出甲仓库存有的小麦的吨数是乙仓库的4倍时，乙仓库存有小麦的吨数，从而就可以算出以后各运进小麦多少吨。 （124－16）÷（4－1）－16＝20（吨） …………………① 算术解法二：由于甲乙两仓库分别运进同样多的小麦后，甲仓库存的小麦吨数是乙仓库存的4倍，因此，如果把乙仓库运进后共有的小麦吨数扩大4倍，这样124吨中就包含了4个16吨和（4－1）个要运进小麦的吨数，如下面的线段图所示。 14
12吨？吨16吨？吨甲仓库乙仓库 代数解法：设甲乙两仓库各运进同样多的小麦后，乙仓库存有小麦x吨，那么甲乙两仓库分别运进的小麦是（x－16）吨，根据题意列出方程： 124＋（x－16）＝4x ……………………………………② 利用运算含义和运算定律解方程（要用小学数学的处理方法），可得 124＋x－16＝4x 124－16＋x＝4x 124－16＝4x－x 4x－x＝124－16 ……………………………………③ 3x＝108 x＝36 36－16＝20（吨） 从上面的两种代数解法中不难看出，对于这样一道“差倍问题”，算术解法中所列的算式①与代数解法解答过程中的方程③的表达是一样的。因此，算式①与方程②是同一数量关系在不同方式下的表达形式。 根据应用题两种解法的联系（数量关系的内在联系），我们可以在代数解法推导的每一步运算中，根据实际问题的意义，对算术解法的思维过程加以分析或解释。这一点，对于小学教师来讲有一定的教学指导意义。 例如，上面的解题方法中，由方程③导出算式①的思维过程是：方程③说明各运进同样多的小麦后，甲仓库所存的小麦[124＋（x－16）]吨，是乙仓库所存的小麦x吨的4倍，利用运算过程说明，把甲仓库所存的小麦[124＋（x－16）]吨，减去x吨后是（124－16）吨，它是乙仓库所存的小麦的（4－1）倍。所以，就得到算式①的解题思路。
下面我们再通过一道应用题的解答直接研究用二元一次方程组的解答解释算术解法的过程。 例3 面值为2元和5元的人民币共50张，总价值208元，两种面值的人民币各有多少张？ 这是一道“置换问题”，在初等教育专业小学数学教材中，作为典型应用题一般都选为教学内容。 代数解法：设2元人民币有x张，5元人民币有y张，依题意得：
???(1)?x?y?50 ?2x?5y?208???(2)?（1）×（2）得； 2x?2y?2?50???(3) （2）－（3）得： (5?2)y?208?2?50???(4) 所以， y?(208?2?50)?(5?2)??(5)
y?36
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把36代入（1）得：x?50?36?14
所以，2元的人民币有14张，5元的人民币有36张。
算术解释：上面的（1）×（2）说明把50张人民币假设都是2元面值，于是总数是2×50元。比原来的总值少了（208－2×50）元。
（4）式说明相差数为（208－2×50）元，是因为把所有的5元人民币都当成2元人民币了，而每把一张5元人民币当作2元计算，就少算了（5－2）元。一共少算了（208－2×50）元，那么，5元人民币就应该有（208－2×50）÷（5－2）=36（张），因此2元人民币有50－36=14（张）。 这就是算术解法解答“置换问题”的解题思路：假设用2元人民币与置换所有的5元人民币，经过调整计算出5元人民币的张数，从而使问题获得解决。
习题三
1、甲、乙两人共有人民币若干元，其中乙的钱数占总钱数的45%，如果乙给甲40元后，甲的钱数是总钱数的60%。甲乙两人共有人民币多少元？
2、甲乙两人带同样多的钱去批发商店买饮料，钱正好全部用完。甲买了16瓶，乙买了12瓶，回到家后，甲补给乙13元，问这种饮料多少钱一瓶？
3、一项工程，甲队单独做需要10天，乙队单独做需要15天，两队合做3天后，剩下的工程由甲队单独完成，甲队还需要单独做几天才能完成任务？
4、鸡兔同笼共有56个头，160只脚，问鸡兔各有多少只？
5、车站给某工厂运2000箱玻璃，合同规定完好运到一箱支付运费5元，如有损坏，每损坏一箱，不但不给运费，车站反要赔偿40元。这批玻璃运到后，车站共收到运费9190元。问损坏了几箱玻璃？
6、通用机械厂生产一种机器，原来每台需用钢材1.55吨；改革技术后，每台节约钢材0.2吨。原来用于生产270台这种机器的钢材，现在可以生产多少台？
7、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行62千米；开出1.5小时后，有一列货车从乙站出发迎面开来，每小时行46千米。又过了2.5小时，两车相遇。甲、乙两站之间的铁路长多少千米。
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