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提公因式法（基础）
责编:杜少波
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】
【高清课堂 398715 因式分解之提公因式法 知识要点】 要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，
而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m，另一个因式是
，即，而正好是
除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的
第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
【高清课堂398715 因式分解之提公因式法 例2】
1、观察下列从左到右的变形：
332⑴?6ab?2ab????3ab?； ⑵ma?mb?c?m?a?b??c
222222⑶6x?12xy?6y?6?x?y?； ⑷?3a?2b??3a?2b??9a?4b
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其中是因式分解的有 （填序号）
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． 【答案】（3）. 【解析】
解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，
(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：
【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A.a+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B.a+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C.（a﹣3）（a+7）=a+4a﹣21 D.a+4a﹣21=（a+2）﹣25 【答案】B.
类型二、提公因式法分解因式
222222、(1)多项式3x2?6xy?3的公因式是________；
(2)多项式4mn?16m?8m的公因式是________；
(3)多项式x(b?c?a)?y(b?c?a)?(a?b?c)的公因式是________； (4)多项式2(x?3)?x(3?x)的公因式是________． 【答案】(1)3 (2)4m (3)b?c?a (4)x?3 【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m．公因式为4m. (3)公因式是（b?c?a），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形2?x?3??x?x?3?，其公因式是x?3．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式． 举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
2?2?2A．x?y B．x?2x C．x?y D．x?xy?y
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【答案】B；
3、若?p?q???q?p???q?p?E，则E是（ ）
A．1?q?p B．q?p C．1?p?q D．1?q?p
【答案】C； 【解析】
解：?p?q???q?p???q?p??1?p?q?．故选C．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是?q?p?，故可把?p?q?变成?q?p?，即左边＝?q?p??1?p?q?.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号． 举一反三：
【变式】把多项式?m?1??m?1???m?1?提取公因式?m?1?后，余下的部分是（ ）
A．m?1 B．2m C．2 D．m?2
【答案】D；
解：?m?1??m?1???m?1?， ＝?m?1??m?1?1?， ＝?m?1??m?2?．
22222322324、（2015春?新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）. 【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果． 【答案与解析】
解：原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）． 【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc?9abc?3abc?4?3ab?
22222B．3xy?3xy?6y?3yx?x?2y
??C．?a?ab?ac??a?a?b?c?
222D．xy?5xy?y?yx?5x
??地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第3页 共4页
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【答案】C；
解：A.12abc?9a2b2c2?3abc?4?3abc?，故本选项错误；
22B.3xy?3xy?6y?3yx?x?2，故本选项错误；
??C.?a2?ab?ac??a?a?b?c?，正确；
22D.xy?5xy?y?yx?5x?1，故本选项错误．
??类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若x?3x?2?0，求2x?6x?4x的值. 【答案与解析】
解： 由x?3x?2?0，得x?3x?2
2x3?6x2?4x?2xx2?3x?4x?2x?2?4x?0.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，2x3?6x2?2xx2?3x，这样就能由已知整体代入求值了.
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223????地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第4页 共4页