参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 7.B
8.C
9.B
10.D
11.D
二、填空题
13. 5 14. 22
15. （1，1）
三、解答题 17.解：
（Ⅰ）因为m//n，所以asinB?3bcosA?0，
由正弦定理，得sinAsinB?3sinBcosA?0， 又sinB?0，从而tanA?3， 由于0?A??，所以A??3
（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得
a2?b2?c2?2bccosA，
而a?7,b?2,A??3，
得7?4?c2?2c，即c2?2c?3?0， 因为c?0，所以c?3 故?ABC的面积为S?12bcsinA?332 解法二：由正弦定理，得
7??2sinsinB， 3从而sinB?217， 又由a?b，知A?B，所以cosB?277 故sinC?sin(A?B)?sin(B??3)
6.A
12.A
16. 1.2
6
?sinBcos?3?cosBsin?3?321 14所以?ABC的面积为S?18.解：
（Ⅰ）在图1中，
因为
133 absinC?22AB?BC?1,AD?2,E是AD的中点，
?BAD?即 从而 又 所以
?2，所以BE?AC
在图2中，BE?OA1,BE?OC，
BE?平面AOC， 1CD//BE， CD?平面AOC 1BCDE， （Ⅱ）由已知，平面A1BE?平面
又由（Ⅰ）知，BE?OA1,BE?OC 所以?AOC为二面角A11?BE?C的平面角 所以?A1OC??2
如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 因为 所以
A1B?A1E?BC?ED?1,BC//ED，
B(2222,0,0),E(?,0,0),A1(0,0,),C(0,,0)， 22222222,,0),AC?(0,,?)， 12222得
BC?(?CD?BE?(?2,0,0)
设平面A的法向量n2?(x2,y2,z2)，平面A1BC的法向量n1?(x1,y1,z1)，平面ACD11BC与平面ACD夹角为? 1??n1BC?0,??x1?y1?0,则?得?取n1?(1,1,1)；
y?z?0,??n1A1C?0,?11 7
??n2CD?0,?x2?0,得?取n2?(0,1,1)， ??0,?y2?z2?0,??n2AC1从而cos??|cos?n1,n2?|?26， ?33?26 3即平面A夹角的余弦值为1BC与平面ACD119.解：
（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为
T（分钟） 频率 以频率估计概率得T的分布列为 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 T P 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 从而ET?25?0.2?30?0.3?35?0.4?40?0.1?32（分钟） （Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同。
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”。 解法一：
P(A)?P(T1?T2?70)
?P(T1?25,T2?45)?P(T1?30,T2?40)?P(T1?35,T2?35)?P(T1?40,T2?30)
?0.2?1?0.3?1?0.4?0.9?0.1?0.5?0.91
解法二：
P(A)?P(T1?T2?70)
?P(T1?35,T2?40)?P(T1?40,T2?35)?P(T1?40,T2?40)
?0.4?0.1?0.1?0.4?0.1?0.1?0.09
故P(A)?1?P(A)?0.91 20.解：
（Ⅰ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx?cy?bc?0，
则原点O到该直线的距离d?bcb2?c2?bc， a 8
由d?12c，得a?2b?2a2?c2，解得离心率c3a?2 （Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2?4y2?4b2
①
依题意，圆心M(?2,1)是线段AB的中点，且|AB|?10
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y?k(x?2)?1，代入①式得
(1?4k2)x2?8k(2k?1)x?(2k?1)2?4b2?0
设A(x8k(2k?1)4(2k1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??1?4k2,x?1)2?4b21x2?1?4k2
由x1?x2??4，得?8k(2k?1)11?4k2??4，解得k?2
从而 x1x2?8?2b2
于是
|AB|?1?(1)2|x51?x2|?2(x21?x2)?4x1x2?10(b22?2)由|AB|?10，得10(b2?2)?10，解得b2?3
2故
椭圆E的方程为
xy212?3?1 解法二：
由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2?4y2?4b2
②
依题意，点A,B关于圆心M(?2,1)对称，且|AB|?10 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
x2?4y2x2211?4b2,2?4y2?4b2，
两式相减并结合x1?x2??4,y1?y2?2，得
?4(x1?x2)?8(y1?y2)?0，
易知AB与x轴不垂直，则x1?x2， 所以
AB的斜率ky21AB?y1?x?x?
122因此 直线AB的方程为y?12(x?2)?1，代入②得 9
x2?4x?8?2b2?0
所以 x1?x2??4,x1x2?8?2b2，
于是
|AB|?1?(12)2|x51?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?10(b2?2) 由|AB|?10，得10(b2?2)?10，解得b2?3
故 椭圆E的方程为
x2y212?3?1 21.解：
（Ⅰ）Fn(x)?fn(x)?2?1?x?x2?...?xn?2，
则Fn(1)?n?1?0，
1?(1)F12?1?12?(12)2?...?(1n?1n()2)n?2?211?1?2??2n?0，
2所以F1n(x)在(2,1)内至少存在一个零点 又Fn?(x)?1?2x?...?nxn?1?0，
故F1n(x)在(2,1)内单调递减，
所以F1n(x)在(2,1)内有且仅有一个零点xn， 因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)?0，
n?1即1?xn11n?11?x?2?0，故xn??xn n22（Ⅱ）解法一：
由题设，g?(n?1)(1?xn)n(x)2
设h(x)?f2(n?1)(1?xn)n(x)?gn(x)?1?x?x?...?xn?2,x?0 当x?1时，fn(x)?gn(x)
10