华中科技大学2005年硕士研究生入学考试
《高等代数》试题
以下各题每题15分,共150分
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?x1?ax2?a2x3?a3,?1．解线性方程组 ?x1?bx2?b2x3?b3, 其中a,b,c为互不相等的数．
?23?x1?cx2?cx3?c,2．证明: 任一n阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.
3．设A为m?n实矩阵,E为n阶单位阵,B??E?ATA, 证明: 当??0时,B为正定矩阵.
4. 设A为n阶不可逆方阵,证明:A的伴随矩阵A*的特征值至少有n?1个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于A11?A22???Ann.
5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.
6. 设A为m?n矩阵,b为m维列向量,证明AX?b有解的充分必要条件是对满足
Az?0的m维列向量z也一定满足bz?0.
TT7. 证明: 任一n阶实可逆矩阵A可以分解成一个正交阵Q与一个正定阵S之积, 即
A?QS.
8. 设M?Pn?n,f(x),g(x)?P[x], 且(f(x),g(x))?1. 令A?f(M),B?g(M),
W,W1,W2 分别为线性方程组ABX?0,AX?0,BX?0的解空间.证明W?W1?W2.
9. 设?是一些n阶方阵组成的集合, 其中元素满足?A,B??, 都有AB??,且
(AB)?BA, 证明:
3(1) 交换律在?中成立.
(2) 当E??时,?中矩阵的行列式的值只可能为0,?1. 10. 证明: 不存在n阶正交阵A,B, 使得A2?AB?B2.
华中科技大学2005年硕士研究生入学考试
《高等代数》试题解答
博士家园解答顾问：fenggaol http://www.bossh.net欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式
1D?11abcabc222?(b?a)(c?a)(c?b)
因为a,b,c互不相等,故D?0.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取
aD1?bc1333abcabc333abcabcabc222?abc(b?a)(c?a)(c?b)
222 D2?111?(ab?ac?b)c(b?)a(?c)a(?cbabc333
D3?11?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)
那么方程组的唯一解为
x1?D1D?abc, x2?D1D?ab?ac?bc, x3?D1D?a?b?c. ■
2. 设A是任一个n阶方阵,A?(aij)n?n.假设A可以写成
A?kE?B
的形式,其中k为数域P中的一个数,B?(bij)n?n是一个迹为0的矩阵.那么
b11?b22???bnn?0aii?k?bii,i?1,2,?,naij?bij,i?j,i,j?1,2,?,n.
于是
nniinii?ai?1??(k?bi?1)?nk??bi?1ii?nk,
即
k?1nii?ani?1.
从aii?k?bii得
bii?aii?k?aii?1nn?aj?1jj.
取
k?1niia?ni?1,
1n??aii??ajj,若i?j,nj?1 bij???a若i?j,?ij,
那么B?(bij)n?n是一个迹为0的矩阵,且A?kE?B. ■
3. 对于任一个非零实n维列向量
?c1?C????c?n??, ???有
?c1?TCC?(c1,?,cn)???c?n??22?c1???cn?0?. ??令
?d1?AC????d?n???, ??那么
?d1?TTTC(AA)C?(AC)(AC)?(d1,?,dn)???d?n??22?d1???dn?0?. ??由于??0,故
CBC?C(?E?AA)C??CC?C(AA)C??(c1???cn)?(d1???dn)??(c1???cn)?0222222TTTTTT
由正定矩阵的定义知,B是正定矩阵. ■
4. 设A是数域P上的n阶不可逆方阵, 则rankA?n, |A|?0.
若rankA?n?1,则A的所有n?1阶子式都为0,从而A?的元素Aij?0.这时A??0. 显然,A?的n个特征值都是0,结论成立.
若rankA?n?1,则A至少有一个n?1阶子式不为0,故A??0,
rankA??1. (1)
由AA??|A|E?0E?0知,A?的每个列向量都是齐次线性方程组AX?0的解向量.
设
V?{X?P|AX?0},A?(?1,?2,?,?n).
n?由线性空间的理论和线性方程组的理论知
rankA??dimL(?1,?2,?,?n)?dimV?n?rankA?n?(n?1)?1. (2)
由(1),(2)知rankA??1.
因为rankA??1,故存在可逆矩阵T?Pn?n,使得
?c1?0?TA??????0c20?0???cn??0?, ???0?其中c1,c2,?cn?P,且不全为零.这时
?d1?0??????0d20?0???dn??0?, ???0?TAT??1?1?其中(d1,d2,?dn)?(c1,c2,?cn)T,而d1,d2,?dn不全为零.注意A的特征多项式为
??d1|?E?A|?|?E?TAT???1?d2?????dn0???n?1|?0?0??0(??d1).
?因此,当d1?0时,A?的n个特征值都为0；当d1?0时,A?的特征值为0(n?1重),d1(一重).
注意,对于一般的n阶矩阵A?(aij)n?n来说,若A的特征值为?1,?2,?,?n,则
?1??2????n?a11?a22???ann.
因此,对于本题来说,当A?有n?1个特征值为0,而另一个特征值d1?0时,有
d1?A11?A22???Ann. ■
5．设A,B都是数域P上的n?n矩阵,且A与B相似.那么存在P上n?n可逆矩阵T使得T?1AT?B.
设A的最小多项式为f(x),B的最小多项式为g(x),则f(A)?0,g(B)?0.由多项式带余除法知,存在q(x),r(x)?P[x]使得
g(x)?f(x)q(x)?r(x), (1)
其中r(x)?0,或?(r(x))??(f(x)).将x?A代入上式,得
g(A)?f(A)q(A)?r(A)?0q(A)?r(A)?r(A),
即g(A)?r(A).于是
g(B)?g(T?1AT)?T?1?1g(A)T?T?1r(A)T?r(T?1AT)?r(B),
但g(B)?0,故r(B)?0,即有 Tr(A)T?r(T?1AT)?r(B)?0.于是有
r(A)?0.
由于f(x)是满足f(A)?0的次数最低的多项式,故r(x)?0.由(1)知g(x)?f(x)q(x),即f(x)|g(x).
同理可证g(x)|f(x).注意f(x),g(x)都是最高次项系数为1的非零多项式,故