注重解题反思，提高解题能力
衢江区杜泽中学 黄钦荣
【内容摘要】：注重解题反思教学，提高学生解题能力，训练学生进行有效的解题反思势在必行。在例题教学中要安排反思教学环节，要注重加强解题教学后的反思训练，培养学生反思习惯，增强学生的反思能力。教师要重点对解题过程，解题方法进行反思，更离不开对题目的条件或结论进行变式，引申推广后的反思，这样就可以使学生加深对问题的理解，优化思维过程，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感，从而提高学生的解题能力。 【关键词】：解题 反思 能力
元认知是指人们对自己的认知加工过程的自我觉察、自我评价、自我调节；反思则是人们对自己认知过程的再认识。解题反思则是对解题活动的再认识，属于解题活动的“元认知”，它是对解题活动的深层次再思考。她不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾和重复，而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性，解题反思不仅有助于对知识的深刻理解，提高对知识理解的层次，而且还能帮助学生提高数学思维的“变通”性，从而提高学生的解题能力。
古人云：“反求诸己”、“扪心自问”、“笃学善思”、“学而不思则罔，思而不学则殆”，这些要求的本质就是强调反思。培养学生的解题反思，不仅是正确迅速解决问题的需要和保证，而且是优化学生思维品质，提高学生解题能力的有效途径。
一、反思解题思路，拓宽学生的解题方法
我们知道，解题是数学学习活动的基本形式，解题教学就是解题思维过程的 教学，教会学生如何思考是解题教学的目的所在。在解完一道题后，引导学生对解题思路进行反思，看能否根据该题的特点进行多角度的思考、联想，寻求各种思路，从而拓宽解题方法。
【例1】：已知等比数列{an}中，Sm?16,S2m?64.求S3m. 解：设公比为q，由题意知q?1，则
?a1(1?qm)?1?q?16①? ?2m?a1(1?q)?64②??1?q 1
① 与②两边相除得 qm?3，代入①得：
a1(1?q3m)?208. 1?qa1??8 1?q?S3m?反思本题的解题思路，我们还可以发现以下几种解法： 解法一：利用等比数列性质：an?amqn?m(n?m).
S2m?a1?a2??am?am?1??a2m?Sm?qm(a1??am)
?Sm(1?qm )?qm?3
?S3m?Sm(1?qm?q2m)?208.
解法二：易证，等比数列依次每k项和仍是等比数列，故 设T1?Sm,T2?S2m?Sm,T3?S3m?S2m.
{an}成等比数列，?T1、T2、T3也成等比数列
2?T22?TT13,?(S2m?Sm)?Sm(S3m?S2m),?S3m(S2m?Sm)2??S2m?208.Sm
解法三：运用函数方法.
a1(1?qn)aaSn??1(qn?1),?(qn,Sn)在直线y?1(x?1)上.
1?qq?1q?1?点(qm,Sm)、(q2m,S2m)、(q3m,S3m)三点共线.
?S3m?S2mS2m?Smm?,?S?q(S2m?Sm)?S2m?208. 3m3m2m2mmq?qq?q一题多解，每一种解法可能用到不同的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理？把本题的每一种解法进一步推广，可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用。我们要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的类似问题，便会迎刃而解， 这对提高解题能力尤其重要。
二、反思错题原因，提升学生的解题纠错能力
学生在解题过程中可能会出现形形色色的错误，为了纠错，教师应当通过引
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导学生反思错题原因，通过必要的反思，找出自己解题出错的原因，探究改错的方法，提出防范的措施，拓展解题的思路，并及时使自己的知识进一步系统化，提升学生的解题纠错能力。。
【例2】：已知实数a,b,m,n满足a2?b2?4,m2?n2?9,求am?bn的最大值. 学生在解答中常常出现多种错误，其中两种典型的错误是：
a2?m2b2?n21313??,?(am?bn)max?. 错解1：am?bn?2222错解2：13?a2?m2?b2?n2?(a?m)2?(b?n)2?2am?2bn?2am?2bn. ?am?bn?1313,即(am?bnm)ax? .22如何引导学生发现自己的错误呢？
对于错解1，教师可以提问学生：解法中用了基本不等式，何时取“等号”？此时当且仅当a?m,b?n时取等号，这时我们会发现4?9，矛盾！那么，为什么会出现这样的错误，这是因为两次运用了基本不等式，涉及到两次取等号，但两次等号不能同时取到，所以按这种解法，am?bn的最大值取不到。在此基础上，我们可对学生进一步强调：求最值时若多次运用基本不等式应注意等号能否同时取到，它能够帮助我们在解题的过程中及时地调整自己的思路。
对于错题2，教师可启发学生反思：解法中没有运用基本不等式，又错在哪儿呢？事实上我们两次运用“完全平方非负”进行放缩，同样的道理，两次等号不能同时取到。
反思了致错的原因后，可再进一步回到探究问题求解目标的基础上，通过将条件进行必要的整体处理后再使用基本不等式，为此可发现有多种解法。
正解1：(a2?b2)(m2?n2)?36
2 ?36?a2m2?b2n2?a2n2?b2m2?a2m?b22n?2an(?bm )m?abn 即：36?(am?bn)2,当且仅当an?bm时取等号， 所以：am?bn?6.
正解2：据题设，可以进行三角代换：
令a?2cos?,b?2sin?,m?3cos?,n?3sin?
?6(co?s am?bnc?os??sin?s?in)?6?c?os? ( 即：am?bn?6.
3
正解3：据题设可构造向量，设p?(a,b),q?(m,n) 于是p?2,q?3,p?q?am?bn 而p?q?pqcos??6cos??6
所以：am?bn?6.
对本题解答的结果进行反思，还可获得如下一些结论：
2222（1）上述正确解法1的实质是(am?bn当且仅当)2?(a?b)(m?n),an?bm时取等号。
（2）本题条件与结论可进一步推广，本质是柯西不等式：
(a1b1?a2b2?a1a1??b1b1??anbn)2?(a12?a22??an2)?(b12?b22??bn2)，当且仅当
an时取等号。 bn三、反思解题策略，提高学生解题“变通”能力
解数学题离不开解题策略的，而解题策略的选择是以数学思想方法伟基础 的。数学思想方法是数学的灵魂，是对数学的本质的认识。解题策略的选择是一种有目的的思维活动，然而并不遵循严格的逻辑规则，往往有许多中间性的跳跃，它通常是依据知识经验和审美判断，对解决数学习题的途径和方法作出总体性的决策，带有一定程度的猜测性和预见性。
解题策略的选择与运用往往对解题过程的繁简起着决定性的作用。一道题目解完后，引导学生反思所应用的解题策略，探索新的解题思路，对提高学生解题“变通”能力颇有益处，这也是课程改革的基本要求。
【例3】：已知椭圆C1：
x2y2??1，抛物线43C2：(y?m)2?2px(p?0)，且C1、
C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当AB?x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （Ⅱ）若p?且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解后反思：这是一道典型的平面解析几何问题。关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，常用“设而不求”的策略，利用方程思想和韦达定理解决，有时，也可以用焦半径公式（椭圆和抛物线的公式有所区别）来解决。这就是“一题多解”。如果将题中的“椭圆”换成“双曲线”会怎样呢？可以进行“一题多变”，拓展思路，训练思维，形成能力，达到提高学生解题的“变通能力。
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【例4】：求函数y?sinx的最大值和最小值
2?cosx2tan本题的一般解法为运用二倍角公式转化为：y?x21?3tan2y?x2. 令tanx?t，则 22t，在此变化过程中，自变量的变化范围没有发生变化，运用“?”法21?3t33可求得：??y?.上述的转化仍停留在代数结构内部，且半角公式教材已
33删除，只能由二倍角转化，运用上述解题思路过程比较繁琐。我们可以引导学生
思考：有没有更简便的方法？由已知函数的表达式的结构形式还能联想到什么？
0?(?sinx)y?y如果学生的认知结构中“k?21”能迅速被提取并与“y?”比
2?cosxx2?x1照，问题马上转化为：求点A(2,0)与点B(cosx,?sinx)连线的斜率的最值。考虑到懂点B的轨迹为单位圆，则问题马上迎刃而解。解题的策略仍然是“转化”，但跳跃性大，是运用数形结合思想将代数问题转化为几何问题。经常进行这样的反思训练，对提高学生解题的变通能力是很有好处。
四、反思变题，提高学生的解题“灵活”能力
一个问题解答完之后，回头看题目本身，常常会有深一层次的认识，比如： 条件有没有多余？结论可不可以加强？结论可不可以推广？如果条件发生某些变化，会不会影响结论成立？经常进行这样的反思，将有利于增强学生的解题能力，特别是提高学生的灵活运用能力。
1【例5】；已知x?0,求函数y?x?的最小值。
x这是一道基本不等式的题目，我们可以立足问题结构进行必要的反思，并因此将原题进行一系列的变化，通过对问题的条件和结论进行改变，我们可以进行以下的变题：
1变题1；已知x?3,求函数y?x?的最小值.
x本题因条件发生变化，所以不宜利用基本不等式求解，但可用函数的单调性来解。
1的最小值. 变题2：已知x?1,求y?x?x?111?(x?1)??1,且x?1?0，所以可本题要把原函数进行变形：y?x?x?1x?1以利用基本不等式求解。
1变题3: 已知x?0,求y?x2?的最小值.
x 5
本题也是把原函数进行变形：y?x2?仅当x2?11,即：x?34时，等号成立. 2x211113?x2???33?32，当且x2x2x42一般地说，习题变式的具体操作方法很多，比如，从题目的形式入手可以有：变化条件、变化结构、逆向调换条件和结论；从题目条件结论之间的逻辑关系入手可以有：类比、强化、弱化。除此之外，还有同一种解法（或者体现了同一种思想），但涉及了不同的知识点的若干命题组合在一起（多题一解、多题归一）的广义变式等。
总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括， 对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题后的反思及反思后的效果，通过解题反思，做一道题，会一套题，解决一种题型，复习一系列知识，掌握一两个规律，有效地进行解题训练，提高学习效率，提高解题能力，达到了 “用学过的知识与方法，解决没有见过的题目”的高度，从而享受探究数学问题带来的成就感。常此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。
参考文献：
1、罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社，2001.
2、杨俊林.例谈数学解题反思的收获.中国数学教育（高中版）,2011(3). 3、汤晓燕.解题反思：内涵理解与实践探索.中学数学研究（南昌），2011(4). 4、梅红卫.浅议解题后的反思.高中数学教与学，2000(1).
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