十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 设 ??1,??2∈??，则 “ ??1，??2 均为实数”是“ ??1???2 是实数”的 ??
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 设 ??1,??2∈??，则“ ??1，??2 中至少有一个数是虚数”是“ ??1???2 是虚数”的 ??
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
3. \?2≤??≤2 \是\实系数一元二次方程 ??2+????+1=0 有虚根\的 ??
A. 必要不充分条件 C. 充要条件
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知互异的复数 ??，?? 满足 ????≠0，集合 ??,?? = ??2,??2 ，则 ??+??= ??
A. 2
B. 1
C. 0
D. ?1
5. 若 1+ 2i 是关于 ?? 的实系数方程 ??2+????+??=0 的一个复数根，则 ??
A. ??=2，??=3 C. ??=?2，??=?1 ?? 的值分别是 ??
B. ??=2，??=?1 D. ??=?2，??=3
6. 已知 ??,??∈??，且 2+??i，??+3i（i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么 ??，
A. ??=?3,??=2
B. ??=3,??=?2 D. ??=3,??=2
C. ??=?3,??=?2
二、填空题（共16小题；共80分）
7. 计算： 1+i= （ i 为虚数单位）．
3?i
8. 若复数 ?? 满足 ??= ???2 + ??+1 i（i 为虚数单位）为纯虚数，其中 ??∈??，则 ∣??∣= ．
9. 若 ?? 是实系数方程 ??2+2??+??=0 的一个虚根，且 ∣??∣=2，则 ??= ． 10. 设 ??=11. 设 ??=
3+2ii3+2ii
，其中 i 为虚数单位，则 ?? 的虚部 等于 ． ，其中 i 为虚数单位，则 ?? 的虚部等于 ．
12. 若复数 ?? 满足 3??+??=1+i，其中 i 为虚数单位，则 ??= ． 13. 若复数 ??=1+2i ，其中 i 是虚数单位，则 ??+?? ???= ．
14. 设 ??∈??，??2+???2+ ??2?1 i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 ??= ． 15. 已知互异的复数 ??,?? 满足 ????≠0，集合 ??,?? = ??2,??2 ，则 ??+??= ． 16. 若复数 ?? 满足 ?? 1+i =1?i （ i 是虚数单位），则其共轭复数 ??= ． 17. 若复数 ?? 同时满足 ???z=2i，z=i??（i 为虚数单位），则 ??= ．
?
?
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18. 若复数 ??=1?2i， i 为虚数单位 ，则 ?????+??= ． 19. 若复数 ?? 满足 ??(1+i)=2 ，则 ?? 的实部是 ．
20. 若复数 ?? 满足方程 ??i=i?1 （ i 是虚数单位），则 ??= ． 21. 若复数 ??=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 ??+ ???= ．
??22. 对于非零实数 ??,?? ，以下四个命题都成立．
①??+≠0 ； ② ??+?? 2=??2+2????+??2 ；
??1
1③ 若 ∣??∣=∣??∣ ，则 ??=±?? ； ④ 若 ??2=???? ，则 ??=?? ． 那么，对于非零复数 ??,?? ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
23. 已知复数 ??1 满足 ??1?2 1+i =1?i（i 为虚数单位），复数 ??2 的虚部为 2，且 ??1???2 是实
数，求 ??2．
24. 已知复数 ??1 满足 ??1?2 1+i =1?i（i 为虚数单位），复数 ??2 的虚部为 2，??1???2 是实数，
求 ??2．
25. 证明：在复数范围内，方程 ∣??∣2+ 1?i ??? 1+i ??=
??2∣<∣??1∣，求 ?? 的取值范围．
27. 已知复数 ??=??+??i ??,??∈??+ i 是虚数单位 是方程 ??2?4??+5=0 的根．复数 ??=??+
3i ??∈?? 满足 ∣?????∣<2 5，求 ?? 的取值范围．
28. 已知 ?? 是复数，??+2i 和 2?i 均为实数（i 为虚数单位），且复数 ???+???i? 2 在复平面上对应的点
在第一象限，求实数 ?? 的取值范围．
??
5?5i2+i
（i 为虚数单位）无解．
26. 已知复数 ??1 满足 1+i ??-1=?1+5i，??-2=???2?i，其中 i 为虚数单位，??∈??，若 ∣??1?
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答案
第一部分 1. A 4. D
2. B
3. A
【解析】\实系数一元二次方程 ??2+????+1=0 有虚根\即指判别式小于 0．
【解析】若 ??=??2,??=??2，则 ??,?? 分别为 0,1，而 ????≠0，所以一定有 ??2=??≠??，??2=??．
从而 ??4=??,??4=??，即 ??,?? 是方程 ??4???=?? ???1 ??2+??+1 =0 的两个根，而 ??≠1，否则 ??=0，同理 ??≠1，故 ??,?? 是方程 ??2+??+1=0 的两个根，从而 ??+??=?1． 5. D
【解析】由已知条件可得 1+ 2i 的共轭复数 1? 2i 也必是实系数方程 ??2+????+??=0 的一个复数根，所以 ???=1+ 2i+1? 2i=2，??= 1+ 2i 1? 2i =3． 6. A 第二部分 7. 1?2i 8. 3 9. 4
【解析】实系数方程虚根成对出现，由韦达定理，得 ??=????=∣??∣2=4． 10. ?3 【解析】??=11. ?3
【解析】??=?i 3+2i =2?3i． 12. 4+2i 13. 6 14. ?2 15. ?1
??=??2,【解析】当 时，不合题意；
??=??2
??=??2,当 时，两式相减，得 ?????=??2???2， 2
??=??
因为 ????≠0，??≠??，所以 ??+??=?1． 16. i 17. ?1+i 18. 6?2i
【解析】由 ??=1?2i ，知 ??=1+2i ，那么 ????+??= 1?2i 1+2i +1?2i=5+1?2i=6?2i ． 19. 1 20. 1?i 21. 6
【解析】 ??+?? ???=?????+1= 1+2i 1?2i +1=1? 2i 2+1=6．
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11
1
3+2ii
【解析】因为 2+??i，??+3i 是实系数一元二次方程的两个根，所以 2+??i，??+3i 互为共轭复
数，则 ??=?3，??=2．
=2?3i，所以 ?? 的虚部等于 ?3．
22. ②④
【解析】当 ??=i 时， ① 不成立；
显然 ③ 不成立，如当 ??=1+i，??=1?i 时就是反例． 第三部分
23. 由 ??1?2 1+i =1?i 得
??1?2=
所以
??1=2?i,
设 ??2=??+2i，??∈??，则
??1??2= 2?i ??+2i = 2??+2 + 4??? i,
因为 ??1??2∈??，所以 4???=0，??=4，
??2=4+2i.
24. 由 ??1?2 1+i =1?i，解得
??1
3+i1+i 3+i 1?i =
2=2?i.=
= 2?i ??+2i
= 2??+2 + 4??? i.
1?i
=?i, 1+i设 ??2=??+2i,??∈??，则
??1???2
由 ??1??2∈??，得 4???=0，即 ??=4．因此，??2=4+2i． 25. 设 ??=??+??i ??,??∈?? ，代入原方程并整理得
??2+??2?2 ??+?? i=1?3i,
根据复数相等的定义，得
??2+??2=1,?① 2??+2??=3.?②
将 ② 代入 ① 整理，得
8??2?12??+5=0.
因为 ??=?16<0，所以方程 8??2?12??+5=0 无实数解． 因此，原方程在复数范围内无解． 26. 由题意得
??1=
于是
∣??1???2∣=∣4???+2i∣= 4??? 2+4,∣??1∣= 13.
所以
4??? 2+4< 13,
?1+5i
=2+3i, 1+i第4页（共5页）
得
??2?8??+7<0,
所以 1
??1,2=2±i,
由于 ??,??∈??+，故
??=2+i,
所以
∣?????∣=∣ ??+3i ? 2+i ∣
= ???2 2+4<2 5,解得
?2
28. 设 ??=??+??i ??,??∈?? ，由
???+2i=??+ ??+2 i
为实数，得 ??=?2．又因为
?????2i
=
2?i2?i1
= ???2i 2+i
511
= 2??+2 + ???4 i55为实数，所以 ??=4，从而 ??=4?2i． 因为复数
???+???i? 2= 12+4?????2 +8 ???2 i
对应的点在第一象限，所以
12+4?????2>0, 8 ???2 >0,
解得 2
因此，实数 ?? 的取值范围是 2,6 ．
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