ADEGHF模型四、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
AS2aS1OS3B22S:S?a:b13①
22S:S:S:S?a:b:ab:ab； 1324②
BC
DS4bC
a?b?③S的对应份数为?．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三
角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．
2AGDFBHCE
【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四
边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
123
【例 15】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形
ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
AODBCE
【巩固】 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部分的面积是 平方厘米．
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A9214BEDC【例 16】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连
接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．
AQDFMGN
【例 17】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．
BEPC
AEMBFNDC模型五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．
AEOBDC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC
AS2ES3BS1S4DCF
【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与
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三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 18】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC11上的点，且AE?AB，CF?BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则
34?AEG与?CGF的面积之和为 ．
AEGBFCD
【例 19】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，
AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHBGIDC
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求
三角形ABC的面积．
AFIBHGDE
【巩固】 (2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，
AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．
CADGFHB【巩固】 如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCIC
E
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，
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求角形GHI 的面积．
AFIBHGDE
【例 20】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴
影部分的面积．
ACDEBFC【例 21】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
AGNMBDEFC【巩固】 (2007年四中分班考试题)如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等
分点，若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．
ADNBEMFC【例 22】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成
9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
AGFB
DEC
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，
那么四边形JKIH的面积是多少？
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CFGKAIHBJDE
课后作业
练习1. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF
的面积．
AFBDEC
练习2. 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
HAGDFBCE
练习3. 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．
EDABC
练习4. 如图，?ABC中，AE?11AB，AD?AC，ED与BC平行，?EOD的面积是1平方厘米．那44么?AED的面积是 平方厘米．
AEODBC
练习5. (2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所
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示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A8162B练习6. 如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDDEC
C
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