最新中小学教案、讲义、试题、试卷
第二章
圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
课时过关·能力提升
基础巩固
1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.不存在
D.以上都可能
解析:∵|MF1|+|MF2|=m,
∴当m>|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆; 当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当m<|F1F2|时,点M的轨迹不存在. 答案:D 2.椭圆
的焦点坐标是 A.(±4,0) B.(0,±4) C.(±3,0) D.(0,±3)
答案:D 3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=5,则椭圆的标准方程是 A
B
C
D
或
( )
1
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解析:因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式. 答案:D 4.已知椭圆
上的点 到该椭圆一个焦点 的距离为 是 的中点 为坐标原点 那么线段 的长是 A.2 答案:B 5.若方程
-
B.4 C.8
D
表示焦点在 轴上的椭圆 则实数 的取值范围是
A.-9 B.8 解得8 - 答案:B 6.已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方程是( ) A C 答案:B 7.已知椭圆 的焦点为 点 在椭圆上 若 则 ∠F1PF2= . 解析:由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2. 在△PF1F2中, cos∠F1PF2 - 故∠F1PF2=120°. 答案:2 120° 8.已知F1,F2是椭圆C 的两个焦点 为椭圆 上一点 且 若△PF1F2 的面积为9,则b= . 2 最新中小学教案、讲义、试题、试卷 解析:依题意,有 解得4c2+36=4a2, 即a2-c2=9,故有b=3. 答案:3 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程; (2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程. 解:(1)设椭圆方程为 则由题意,a=3,c=2,得b2=5. 故椭圆方程为 (2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5), 所以可设椭圆方程为 2a - 所以a= 故椭圆方程为 10.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解:两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 由题设条件,可知|MO1|=1+R,|MO2|=9-R, 则|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|=6. 由椭圆的定义,知M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16. 故动圆圆心的轨迹方程为 能力提升 1.椭圆mx2+ny2+mn=0(m 3 最新中小学教案、讲义、试题、试卷 C.(0, - - 解析:化为标准方程是 - - ∵m ∴焦点在y轴上,且c - - - - 答案:C 2.设P是椭圆 上一点 到两焦点 的距离之差为 则△PF1F2是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3. ∵|F1F2|=2c= - ∴△PF1F2为直角三角形. 答案:B 3.设F1,F2是椭圆 的两个焦点 是椭圆上的点 且 则△PF1F2的面积 等于( ) A.5 答案:B 4.若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点 点 为椭圆上的任意一点 则 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 B.4 C.3 D.1 解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0), 则 - ≤x0≤2 取得最大值为6. 当x0=2时 答案:C 4 最新中小学教案、讲义、试题、试卷 5.设P为椭圆 上的任意一点 分别为其上、下焦点 则 ·|PF2|的最大值是 . 解析:由已知a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6, 则|PF 1|·|PF2|≤ 当且仅当|PF1|=|PF2|=3时,式中取等号. 故|PF1|·|PF2|的最大值为9. 答案:9 ★6.已知椭 圆 的两个焦点为 过左焦点 作垂直于 轴的直线与椭圆相交 一个交点为 则 解析:由椭圆的方程可知F1的坐标为( 设P( 把P( 代入椭圆的方程中,得|y| 即|PF 1| 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, 故|PF 2|=4-|PF1|=4 答案: 7.求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点 和 的椭圆 (2)过点(-3,2),且与 有相同焦点的椭圆 分析(1)因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以可直接设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),代入A,B两点的坐标,列出方程组,求出m,n即可. (2)先求出公共焦点,再结合过点(-3,2)求解. 解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过点 和 5