初二年级春季数学竞赛讲义
AA?MA?M??（其中M是不为零的整式）。 BB?MB?M（2）分式的符号法则：
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质：
111?1?； a??1?a?0?，a??1?a?0?；若a??1，则an????1（a?0，n是整数）
aaaa??na?1?2?a?0?。 a3、分式的运算 分式的运算法则有：
aba?bacad?bc??，??； cccbdbdnacacacad?a?an。 ??，??，???n（n是正整数）
bdbdbdbc?b?b4、分式的变形
分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 三、二次根式：
1、当a?0时，称a为二次根式，显然a?0。 2、二次根式具有如下性质： （1）
?a?2?a，当a?0时，?a?a?0?； （2）a2?a??
??a，当a?0时；a?b?a?0，b?0?； （4）
aa?a?0，b?0?。 ?bb（3）ab?3、二次根式的运算法则如下： （1）ac?bc??a?b?c?c?0?； （2）
?a?n?an?a?0?。
4、设a，b，c，d，m?Q，且m不是完全平方数，则当且仅当a?c，b?d时，
a?bm?c?dm。
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初二年级春季数学竞赛讲义
【例题精讲】
【例1】分解因式：x2?xy?6y2?x?13y?6
【巩固】分解因式：
1、x2?xy?2y2?x?5y?2； 2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；
【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a?b?c?2ab?2bc?2ca的值是（ ）
A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负
3、k为何值时，多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？
【例3】已知a、b是实数，且
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444222222?1?a2?a ??1?b?b??1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。
2 初二年级春季数学竞赛讲义
【专题训练】
1、已知ab?a?b?1?13，求a?b的值为_____________；
2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值为_____________；
3、设3b?a?2c，求a?9b?4c?4ac的值。
4、若abc?0，且设
5、已知1?
222?a?b??b?c??c?a??___________ a?bb?cc?a??，则cababczxxyyz，2?，3?，则x?_______________；
z?xx?yy?z学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：www.hnaoshu.com
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初二年级春季数学竞赛讲义
2226、已知a?x?1991，b?x?1992，c?x?1993，且abc?24，则
abc111??????______________________ bccaababc
3x2?6x?57、当x变化时，分式的最小值为______________
12x?x?12
xx3?1，则6?____________________； 8、设2x?mx?1x?m3x3?1
2
9、已知实数a满足1992?a?a?1993?a，则a?1992?__________________； 10、化简
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262?3?5?____________________；
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11、已知x?
12、设39?
1a?a，则4x?x2?__________________
432的整数部分为a，小数部分为b，则
1111??_____________； a?ba?4?b13、设等式a?x?a??a?y?a??其中a，x，y两两不同，x?a?a?y在实数范围内成立，
3x2?xy?y2则2?__________________；
x?xy?y2
14、使等式x?
15、设正整数a，m，n满足a2?42?
y?99成立的整数对?x，y?的个数为__________________；
m?n，则这样的a，m，n的取值有______组；
12222n?????16、求和：S? 242n1?x1?x1?x1?x
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