课时作业(六十) 定点、定值、探索性问题 [授课提示：对应学生用书第272页] x2y21．(2016·北京卷)已知椭圆C：2＋2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点． ab(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率； (Ⅱ)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积为定值． 解析：(Ⅰ)由题意得，a＝2，b＝1. x22所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4又c＝a2－b2＝3， c3所以离心率e＝＝. a22(Ⅱ)设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x0＋4y20＝4. 又A(2,0)，B(0,1)，所以， y0直线PA的方程为y＝(x－2)． x0－22y02y0令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋. x0－2x0－2y0－1直线PB的方程为y＝x＋1. x0x0x0令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋. y0－1y0－1所以四边形ABNM的面积 1S＝|AN|·|BM| 2x02y01＝?2＋y－1??1＋x－2? 2????0022x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝ 2?x0y0－x0－2y0＋2?2x0y0－2x0－4y0＋4＝ x0y0－x0－2y0＋2＝2. 从而四边形ABNM的面积为定值． →→2．在抛物线y＝4x上有两点A，B，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，若FO＋2FA→＋3FB＝0.试证明：直线AB与x轴的交点为定点． y2y2y1－y212???证明：依题意，设点A?4，y1?、B?4，y2?，则点F(1,0)，直线AB的方程是y－y1＝2?y1－y2242?x－y1?， ?4?24?y1?x－， 即y－y1＝4?y1＋y2?y1y2y1y2令y＝0得x＝－，即直线AB与x轴的交点的横坐标是－. 442一、选择题
→→→由|FO|＋2|FA|＋3FB＝0， y2y212???得(－1,0)＋2?4－1，y1?＋3?4－1，y2??＝(0,0)， 22yy12??－1＋2?－1?＋3?－1?＝0，?4??4?得? ??2y1＋3y2＝0 22??2y1＋3y2＝24即?， ?2y1＋3y2＝0? 16y1y26y2，－＝， 2＝5456即直线AB与x轴的交点的横坐标是. 56?即与x轴交于定点??5，0?. 3．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：(1)因为椭圆的短轴长2b＝2?b＝1， 又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以b＝c?a2＝b2＋c2＝2，x22故椭圆的方程为＋y＝1. 2(2)①若l与x轴重合时，显然M与原点重合，m＝0； ??y＝k?x－1?，②若直线l的斜率k≠0，则可设l：y＝k(x－1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则?22??x＋2y－2＝0?x2＋2k2(x2－2x＋1)－2＝0，所以化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0； 4k22k2x1＋x2＝?PQ的中点横坐标为，代入l：y＝k(x－1)可得：PQ的中点为1＋2k21＋2k2－k?2k21k2k21?0，?. N?，所以m＝∈?2，2?，由于|MP|＝|MQ|得到m＝22＝?2?2k＋11＋2k1?1＋2k1＋2k?2＋2k10，?. 综合①②得到m∈??2?x2y2114．(2016·天津卷)设椭圆2＋＝1(a＞3)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝a3|OF||OA|3e，其中O为原点，e为椭圆的离心率． |FA|(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率． 113e113c解析：(Ⅰ)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，又a2－|OF||OA||FA|caa?a－c?c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1. 43(Ⅱ)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组