线性代数
①A?B?B?A
②?A?B??C?A??B?C?
③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A
⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A
T ?A?B??AT?BT
?cA?TT?cAT。
?? ?AB??BTAT
??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n
T转置值不变A?A
逆值变A?1?1 AcA?cnA
?,?1??2,???,?1,???,?2,?
A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B
A?B???1??1,?2??2,?3??3?
A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1
有关乘法的基本运算
Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT
TAB?AB
AA?A Akklk?l
??l?Akl
k ?AB??AkBk不一定成立！
AE?A，EA?A
A?kE??kA，?kE?A?kA
AB?E?BA?E
与数的乘法的不同之处:?AB??AkBk不一定成立！
k无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A?2A?3E??A?3E??A?E?
2 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0
由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB?AC?B?C。
右消去律：BA?CA?B?C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB?0?B?0
②AB?AC?B?C 可逆矩阵的性质
i）当A可逆时， A也可逆，且ATT???1?A?1。 ?A?1。
?1??T A也可逆，且Akk???1??k 数c?0，cA也可逆，?cA??1?1A。 c?1ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??B?1A?1。
推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j? ??1???E??i?c???
???? ?E?i?c????1?E?i,j?c????1?E?i,j??c??
命题：准对角矩阵
A11A?000000A2200?000?1可逆?每个Aii都可逆，记A?00Akk0?1A1100?1A22000000?0?10Akk
伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE 当A可逆时， AA*A*?E 得A?1?， （求逆矩阵的伴随矩阵法） AA??1?A*?A?1A?1??且得：?A*??1?A?A?1? A??n?1?????1?A?? A??伴随矩阵的其他性质
①A*?A, A*?AA
?1 ②AT*??A*?,
T?? ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,
⑤Ak*??A*?，
k?? ⑥?A*?*?An?2?a?b?A。 n?2时， ?A*?*?A A*????cd??
??关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*
i) 任何两个的次序可交换， 如AT*??A*?，
T???1T ?A*???A?1?*等
?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB? ?AB?*?B*A*
?B?1A?1，
但?AB??BkAk不一定成立！ k线性表示
0??1,?2,?,?s
?i??1,?2,?,?s
???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解
???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。
?T?
?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，
则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C
线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp，
则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示
?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t 记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。
线性相关
s?1，单个向量?，x??0
?相关???0
?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s
④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。