3．一个离散信号源每毫秒发出4种符号中的一个，各相互独立符号出现的频率分别为0.4，0.3，0.2，0.1.求该信号的平均信息量与信息速率。 解：平均信息量：
4H(x)＝－?p(xi)log2p(xi)
i?1＝―0.4 log20.4―0.3log20.3―0.2log20.2―0.1log20.1 ＝1.846(bit/sym) 信息速率： Rb＝
1.8461?10?3＝1864(bit/s)
4．试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差： ?f(x)??1?2a?a?x?a ??0其它x 解：E[X]???axx2a ??xf(x)dx???a2adx?4a?0?a [X]???(x?E[X])fax2x3aa2D2??(x)dx???a 2adx?6a??a3
5．试证明随相信号 s(t)?Acos(?0t??)是广义平稳随机过程。其中，是 0~2?上均匀分布的随机变量。 证明： a(t)?E{Acos(?0t??)}?AE{cos?0tcos??sin?0tsin?)}?Acos?0tE{cos?}?Asin?0tE{sin?)} ?Acos?2?12?10t?02?cos?d??Asin?0t?02?sin?d??0 ?2(t)?E?[s(t)?a(t)]2??E?[Acos(?0t??)]2??A22E[1?cos2(?A20t??)]?R(t,t??)?E{Acos(?20t??)Acos[?0(t??)??)]}A2?2E[cos?0??cos(2?0t??0??2?)]A,?0是常数，相位 ? 10．设电话信号的带宽为300-3400Hz，抽样速率为8000Hz。 试求：（1）编A律13折线8位码和线性12位码时的码元速率；
（2）现将10路编8位码的电话信号进行PCM时分复用传输，此时的码元速率为多少；
（3）传输此时分复用PCM信号所需要的奈奎斯特基带带宽为多少。
解（1）8位码时的码元速率为：
线性12位码时的码元速率为:
（2）10路编8位码的码元速率为:
（3）传输时分复用PCM信号的奈奎斯特基带带宽为:
?t)，抽样频率fs?250Hz。 11．已知信号?(t)?10cos(20?t)cos(200（1）求抽样信号xs(t)的频谱；
（2）要求无失真恢复x(t)，试求出对xs(t)采用的低通滤波器的截止频率； （3）试求出无失真恢复x(t)情况下的最低抽样频率fs。 解：（1）题目给出的信号可表示为
x(t)?10cos(20?t)cos(200?t)?5[cos(220?t)?cos(180?t)] 信号的频谱为
X(?)?5?[?(??220?)??(??220?)??(??180?)??(??180?)]
有条件可知抽样频率fs?250Hz，抽样角频率
?s?2??250?500?(rad/s)
抽样周期
Ts?11?(s) fs250可写出抽样信号的频谱
1Xs(?)?Tsn????X(??n?)?250?5?[?(??220??500n?)??(??220??500n?)
sn???????(??180??500n?)??(??180??500n?)]
（2）原信号x(t)为双频信号，角频率为180?和220?。要求无失真恢复x(t)，滤波器的截止频率要确保频率高的信号通过，所以滤波器的截止频率为
fH?220??110(Hz) 2?
(3)原信号x(t)为双频信号，最低抽样频率应以最高的信号为准，所以最低抽样频率为
fs?2fH?2?220??220(Hz) 2?