2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国卷Ⅱ) 一、选择题 ( 本大题 共 8 题, 共计 40 分) 1、(5分) 复数(
)2等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 2、(5分) 函数y＝
(x＞1)的反函数是( )
A．y＝e2x＋1－1(x＞0) B．y＝e2x－1＋1(x＞0) C．y＝e2x＋1－1(x∈R) D．y＝e2x－1＋1(x∈R) 3、(5分)
若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4、(5分) 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35
5、(5分)
不等式
＞0的解集为( )
A．{x|x＜－2或x＞3} B．{x|x＜－2或1＜x＜3} C．{x|－2＜x＜1或x＞3} D．{x|－2＜x＜1或1＜x＜3} 6、(5分)
将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 7、(5分)
为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋)的图像( ) A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移
个长度单位
8、(5分)
△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|
＝1，|b|＝2，则 等于( )
A. a＋b B. a＋b C. a＋b D. a＋b
9、(5分)
已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，
它的高为( ) A．1 B. C．2 D．3
10、(5分) 若曲线y＝x－
在点(a，a－
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形
的面积为18，则a等于( )
A．64 B．32 C．16 D．8
11、(5分) 与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( ) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个 12、(5分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k等于( )
A．1 B.
C.
D．2
二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分) 1、(5分)
已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.
2、(5分)
若(x－)9
的展开式中x3
的系数是－84，则a＝________. 3、(5分)
已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为
的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
4、(5分)
已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝________. 三、解答题 ( 本大题 共 4 题, 共计 46 分)
1、(10分)
△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，
求AD.
2、(12分)
已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n. (1)求
；
(2)证明
＞3n.
3、(12分)
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.
(1)证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-B1的大小． 4、(12分)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率；
(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． 四、解答题 ( 本大题 共 2 题, 共计 24 分) 1、(12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)． (1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明过A、B、D三点的圆与x轴相切． 2、(12分)
设函数f(x)＝1－e－x. (1)证明当x＞－1时，f(x)≥；
(2)设当x≥0时，f(x)≤
，求a的取值范围．
2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国卷Ⅱ) 一、选择题 ( 本大题 共 8 题, 共计 40 分) 1、(5分) C ＞0
＞0
(x＋2)(x－1)(x－
3)＞0，所以－2＜x＜1或x＞3.
2、(5分) B 将标号为1、2的卡片放入一个信封，有＝3(种)，
将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有＝6(种)，
共有
·＝3×6＝18(种)．
3、(5分) B y＝sin(2x－)＝sin[2(x－
)＋
]，所以只要把y＝sin(2x＋)的图像向右平移个长度单位，就可得到y＝sin(2x－)
的图像．
4、(5分) B 法一：(直接法)∵CD平分∠ACB， ∴＝＝ ∴＝2＝＝(
－)＝
(a－b)．
∴
＝＋ ＝b＋ (a－b) ＝
a＋b.
法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝
a＋b＝a＋b.故＝a＋b.系数之比为2∶1，只有B项符合． 5、(5分) C 如图，设AC∩BD＝O，则SO⊥平面ABCD.
设SO＝h，AB＝a，则在Rt△SOA中：
SO＝＝，
∴h2
＝12－
a2，
∴a2＝24－2h2
，
∴V2
S—ABCD＝×a×h
＝ (24－2h2)×h＝－h3＋8h
∴V′＝－2h2＋8，令V′＝0得h＝2. 当h∈(0,2)时，V单调递增，当h∈(2,2)时，V单调递减，
∴当h＝2时，V取得最大值．
6、(5分) A ∵y＝x－，y′＝－x－，∴k切＝－a－，切
线方程为y－a－＝－a－ (x－a)．令y＝0，得x＝3a.令x＝0，
得y＝a－，∴·3a·a－＝18，故a＝64.
7、(5分) D 经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点． 8、(5分) B 如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BM⊥AA1于M.
由椭圆的第二定义得：＝e，＝e，
∴|BB1|＝，|AA1|＝.
又∵
＝3
， ∴
＝3，
∴|AA1|＝，
∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝
，而|AB|＝|AF|＋|FB|
＝4|FB|，
在Rt△BAM中，cos∠BAM＝
＝＝
＝
，
∴sin∠BAM＝
，∴k＝tan∠BAM＝
.
二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)
1、(5分) 答案：－
解析：tan(π＋2α)＝－
，tan2α＝－
，
∴
＝－
.解得tanα＝2或tanα＝－
. ∵α是第二象限的角， ∴tanα＜0.∴tanα＝－. 2、(5分) 1 解析：Tr＋1＝
x9－r(－)r＝(－1)rarx9－2r，
令9－2r＝3，∴r＝3. ∴x3的系数为(－1)3
a3＝－84.
∴a3＝1. ∴a＝1. 3、(5分) 2 解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为
的直线为y＝
(x－1)，
联立得
解得 ∴A(－
，－ (＋1))．
又∵＝，∴M点为AB的中点．
∴B点坐标为(＋2， (＋1))．
将B(＋2， (＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得
3(＋1)2＝2p(＋2)，
解得p＝2或p＝－6(舍)． 4、(5分) 3
解析：∵|OM|＝|ON|＝3， ∴圆M与圆N的半径相等，且为
＝
.
取AB中点C，连结MC、NC，则MC⊥AB，NC⊥AB， |MC|＝|NC|＝＝， 易知OM、CN共面且OM⊥MC，ON⊥NC， |OC|＝
＝2
，
sin∠OCM＝＝，
∴|MN|＝2|MC|·sin∠OCM＝2×＝3.
三、解答题 ( 本大题 共 4 题, 共计 46 分) 1、(10分) 解：由cos∠ADC＝＞0知B＜
，
由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝
×
－× ＝.
由正弦定理得
＝
，
AD＝
＝
＝25.
2、(12分) (1)解：
＝
＝
＝1－
，
＝
＝，
所以＝. (2)证明：当n＝1时，＝S1＝6＞3；
当n＞1时，＋＋…＋ ＝
＋＋…＋
＝(
－)·S1＋(
－)·S2＋…＋[
－
]·Sn－1＋
·Sn＞
＝
·3n＞3n.
所以，当n≥1时，＋＋…＋＞3n.
3、(12分) (1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，
因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.
作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点． 又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，
连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD， 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线． (2)因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°，设AB＝2，则
AB1＝2
，DG＝，CG＝，AC＝，
作B1H⊥A1C1，H为垂足， 因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C， 故B1H⊥面AA1C1C.
又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．
B1H＝＝，
HC1＝＝，
AC1＝＝，HK＝＝，
tan∠B1KH＝
＝. 所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan
.
4、(12分) 解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4. A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流． B表示事件：电流能在M与N之间通过． (1)
＝··，A1，A2，A3相互独立， P()＝P(·
·)＝P(
)P(
)P(
)＝(1－p)3.
又P(
)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
故(1－p)3＝0.001，p＝0.9. (2)B＝A4＋
·A1·A3＋··A2·A3， P(B)＝P(A4＋·A1·A3＋··A2·A3) ＝P(A4)＋P(
·A1·A3)＋P(·
·A2·A3) ＝P(A4)＋P(
)P(A1)P(A3)＋P(
)P(
)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.
(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6. 四、选择题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)
(2)由①②知，C的方程为3x－y＝3a2，
1、(5分) A
22
h′(x)＝af(x)＋axf′(x)＋f′(x)－1 ＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)．
＜0，
(ⅰ)当0≤a≤
时，由(1)知x≤(x＋1)f(x)，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－
2、(5分) D 由y＝
，得ln(x－1)＝2y－1，解得 x＝e2y－1
故不妨设x1≤－a，x2≥a. h′(x)≤af(x)－axf(x)＋a(x＋1)f(x)－f(x)＝(2a－1)·f(x)≤0， ＋1，故反函数为y＝e2x－1＋1(x∈R)．
3、(5分) C 约束条件所对应的可行域如图． 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.
由图可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z最大．由得，则A(1,1)．
∴zmax＝2×1＋1＝3.
4、(5分) C ∵{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12， ∴a4＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝
＝7a4＝28.
五、解答题 ( 本大题 共 2 题, 共计 24 分)
1、(12分) 解：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2. 代入C的方程，并化简，得
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0， 设B(x1，y1)、D(x2，y2)， 则x1＋x2＝
，x1x2＝－
， 由M(1,3)为BD的中点知＝1，故
×＝1，即b2＝3a2， 故c＝
＝2a，所以C的离心率e＝＝2.
，
①
②
|BF|＝＝＝a－2x1， |FD|＝
＝＝2x2－a.
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a) ＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2 ＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17， 故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1或a＝－ (舍去)．
故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.
连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切． 2、(12分) 解：(1)当x＞－1时，f(x)≥
，当且仅当ex≥1＋x.
令g(x)＝ex－x－1，则g(x)＝ex－1.
当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数； 当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]上是减函数． 于是g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即ex≥x＋1.所以当x＞－1时，f(x)≥
. (2)由题设x≥0，此时f(x)≥0. 当a＜0时，若x＞－，则＜0，f(x)≤
不成立；
当a≥0时，令h(x)＝axf(x)＋f(x)－x，则
f(x)≤当且仅当h(x)≤0，
h(x)在[0，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤
. (ⅱ)当a＞时，由(ⅰ)知x≥f(x)，
h′(x)＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)
≥af(x)－axf(x)＋af(x)－f(x)＝(2a－1－ax)f(x)，
当0＜x＜
时，h′(x)＞0，所以h(x)＞h(0)＝0，即f(x)＞
，
综上，a的取值范围是[0，]．