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专题 带电粒子在电场和磁场中的运动
要点归纳
一、不计重力的带电粒子在电场中的运动 1．带电粒子在电场中加速
11
当电荷量为q、质量为m、初速度为v0的带电粒子经电压U加速后，速度变为vt，由动能定理得：qU＝mvt2－mv02．若
22v0＝0，则有vt＝
2qU，这个关系式对任意静电场都是适用的． m
对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用． 2．带电粒子在匀强电场中的偏转
电荷量为q、质量为m的带电粒子由静止开始经电压U1加速后，以速度v1垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图4－1所示)．
图4－1
1
qU1＝mv12
2
设两平行金属板间的电压为U2，板间距离为d，板长为L． (1)带电粒子进入两板间后
粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有： vx＝v1，L＝v1t
粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：
1qEqU2vy＝at，y＝at2，a＝＝．
2mmd
(2)带电粒子离开极板时
12qU2L2U2L2
侧移距离y＝at＝＝ 22mdv124dU1U2x2
轨迹方程为：y＝(与m、q无关)
4dU1
atqU2LU2L
偏转角度φ的正切值tan φ＝＝ 2＝v1mdv12dU1
若在偏转极板右侧D距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y′＝L
(D＋)tan φ．
2
以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．
二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动
1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动． 2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．
质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，则有：
v22π
qvB＝m＝mRω2＝mvω＝mR()2＝mR(2πf)2
RTmvR＝ qB2πm1qBT＝(与v、R无关)，f＝＝．
qBT2πm 1
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3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点． (1)粒子圆轨迹的圆心的确定
①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．
②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．
③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．
图4－2 图4－3 图4－4
(2)粒子圆轨迹的半径的确定
mv
①可直接运用公式R＝ 来确定．
qB
②画出几何图形，利用半径R与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示．
图4－5
(3)粒子做圆周运动的周期的确定
2πm
①可直接运用公式T＝ 来确定．
qB
②利用周期T与题中已知时间t的关系来确定．若粒子在时间t内通过的圆弧所对应的圆心角为α，则有：t＝t＝
α·T)． 2π
(4)圆周运动中有关对称的规律
①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图4－6所示． ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图4－7所示．
α·T(或360°
图4－6 图4－7
(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． 三、带电粒子在复合场中的运动
1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．
2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变
2
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化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．
3．带电粒子所受三种场力的特征
(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f洛＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f洛＝qvB．当洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．
(2)电场力的大小为qE，方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关．
(3)重力的大小为mg，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．
注意：①微观粒子(如电子、质子、离子)一般都不计重力；②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．
4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法
(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解． (3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．
由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．
考点40. 带电粒子在复合场中的运动
1) 复合场指的是重力场、电场和磁场中两个或三个场同时存在的场。
2）带电粒子在复合场中运动要考虑重力、电场力和磁场力，要注意磁场力（即洛仑兹力）的特点。 3）解决带电粒子在复合场中的运动问题，与解决力学中物体的运动问题基本相同。 4）对于带电粒子在复合场中的运动问题，所用的规律和方法与力学的问题基本相同。
例1. 一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带__ __，旋转方向为__ __。若已知圆半径为r，电场强度为E磁感应强度为B，则线速度为_ ___。
1．空间某一区域中只存在着匀强磁场和匀强电场，在这个区域内有一个 带电粒子，关于电场和磁场的情况，下列叙述正确的是（ ） A．如果电场与磁场方向在同一直线上，则带电粒子的动量方向一定改变 B．如果电场与磁场方向在同一直线上，则带电粒子的动能一定改变 C．如果带电粒子的动量的方向保持不变，则电场与磁场方向一定互相垂直 D．如果带电粒子的动能保持不变，则电场与磁场方向一定互相垂直
2．如图所示，质量为m、带电量为+q的粒子，从两平行电极板正中央垂直电场线和磁感线以速度v飞入．已知两板间距离d，磁感应强度为B，这时粒子恰能直线穿过电场和磁场区域（重力不计）．今将磁感应强度增大到某值，则粒子将落到极板上．当粒子落到极板上时的动能为多少？
3
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3．如图所示是水平向右的匀强电场（场强为E）和垂直纸面向里的水平匀强磁场（磁感应强度为B ）并存的区域．其中有一个足够长的水平光滑绝缘面，面上的O点放一个质量为m、带正电、电量为q的小物块．释放后，物块自静止开始运动．求物块在水平面上滑行的最大位移和物块在水平面上滑动过程中电场力对物块做的功．
4．如图所示，一电子沿M 孔水平射入垂直纸面的匀强磁场区域Ⅰ，经P 孔进入水平匀强电场区域Ⅱ，最后到达N 孔，已知 OM ? ON ? OP ，电子电量为e，质量为m，入射速度为v0．求： ? R（1）试判断磁场与电场方向，并写出电场强度大小； （2）粗略画出电子运动轨迹，说明它们是什么图线； （3）确定电子到达N 孔时的速度．
5．如图，在地面附近，坐标系 xoy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x＜0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，沿着与水平方向成角a ＝30°的斜向下的直线运动，进入x＞0的区域．要使油滴进入x＞0区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x＞0区域内加一个匀强电场．若带电油滴做圆周运动通过x 轴上的N点，且M O ＝O N．求： （1）试说明油滴在x＜0的空间中做匀速直线运动的理由，并求其速率的大小； （2）在x＞0空间内所加电场的场强大小和方向
（3）油滴从x 轴上的M点开始到达x 轴上的N点所用的时间
?N
Ⅱ
O
P
Ⅰ
M
v0 4
C428 物理资料(仅供内部参考，谢绝盗版) 1）速度选择器：
如图所示质量为m，带电量＋q的粒子（重力不计），从两平行电极板正中央垂直电场线和磁感线方向以速度v飞入，已知两板间距为d，磁感强度为B，若粒子能通过选择器，则射入速度v等于多少？
2）磁流体发电机：
磁流体发电机原理图如右。等离子体高速v从左向右喷射，两极板间d有如图方向的匀强磁场B。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ + R B － － －－ ― ―
3）质谱仪：
如图2所示是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图，一价正离子从狭缝S1，以很小速度进入电压为U 的加速电场区，再通过狭缝S1、S2射入磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直磁场界面，最后打到感光片上形成细线，若测得细线到狭缝S2的距离为d．试导出离子的质量表达式．
4）磁流量计：
如图所示为电磁流量计示意图。直径为d的非磁性材料制成的圆形导管内，有可以导电的液体流动，磁感强度为B的匀强磁场垂直液体流动的方向而穿过一段圆形管道。若测得管壁内a、b两点间的电势差为U，则管中液体 的流量Q＝ /S
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