第10讲 函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用
【知识要点】
一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．
数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．
数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．
二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力． 三、三种增长型函数的增长速度的比较
1、指数函数尽管在的一定范围内而总存在一个
,当
与幂函数会小于时有
，但由于
. 与幂函数
对数函数
的增
在区间的增长速度快于
，无论比大多少，
的增长速度,因
2、对数函数
长速度，不论与值的大小如何总会慢于实数
,当
.
时有
的增长速度, 因而在定义域内总存在一个
3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在
.
四、分段函数
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.分段函数书写时，注意格式规范，一
上，总会存在一个实数
,当
时有
1
般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集. 五．解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、
分别表示问题中的变量；
表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一
（2）建立函数模型：将变量般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
六．解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；
（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；
（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．
七、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 【方法讲评】 函数的模型一 解题步骤 【例1】某城市现有人口总数为问题：
（1）写出该城市人口总数
（万人）与年份（年）的函数关系式；
指数函数模型 先建立指数函数模型，再解答. 万人，如果年自然增长率为
，试解答下面的
2
（2）计算年以后该城市人口总数（精确到万人）；
万人（精确到年）．
）
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到（
【点评】（ 1）增长率（降低率）的问题一般是指数模型或幂函数模型，如果已知增长率
（降低率）求
时间，多是指数函数模型.（2）解指数方程或不等式，一般利用对指互化.
【反馈检测1】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. （1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ （2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数对数数 1.010 0.004 3 3.000 1.015 0.006 5 5.000 1.017 0.007 3 12.48 1.310 0.117 3 13.11 2.000 0.301 0 13.78 以内，我国
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