向量在几何中的应用、向量在物理中的应用练习
1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( ) A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3) C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4) 2．在△ABC中，有命题：
????????????????????????????????????????①AB－AC＝BC；②AB＋BC＋CA＝0；③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，
????????则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB＞0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( ) A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
3．一条渔船距对岸4 km，它以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，则河水的流速为( )
A．23km/h B．2 km/h C．3km/h D．3 km/h
????????????????4．已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则点
P与△ABC的位置关系是( )
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
?????????5．已知向量OF1＝(4，－5)，OF2＝(－7,9)分别表示两个力f1，f2，则f1＋f2的大小
为__________．
6．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在的直线方程为__________．
是__________．
2222
8．如图所示，若D是△ABC内一点，且AB－AC＝DB－DC，求证：AD⊥BC． ????????????7．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则AP·(PB＋PD)的最大值
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
→→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．
参考答案
????????????????????2．解析：对于①，应有AB－AC＝CB，故①错误．对于④，由AC·AB＞0，得????????|AC||AB|cos A＞0，所以cos A＞0.所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，
故④错误．②③是正确的．
答案：C
3．解析：如图所示，设河水流速为|v1|，实际航向与水流方向的夹角为α，则sin α＝
1．答案：C
412?，所以α＝30°，|v1|＝＝23(km/h)，即水流速度为23km/h. 82tan30?
????????????????4．解析：∵PA＋PB＋PC＝AB， ????????????????????∴PA＋PC＝AB＋BP＝AP， ????????即PC＝2AP.
∴A，C，P三点共线，即点P在AC边上． 答案：D
22所以|f1＋f2|＝??3??4＝5.
答案：A
?????????5．解析：f1＋f2＝OF1＋OF2＝(－3,4)，
????6．解析：与AC边平行的向量为AC＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，
????????则BP＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC·(x－3，y－1)＝0，即
3x－5y－4＝0.
答案：3x－5y－4＝0
答案：5
1 4????????????????????8．证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，
7．答案：
则a＝e＋c，b＝e＋d，
222222∴a－b＝(e＋c)－(e＋d)＝c＋2e·c－2e·d－d.
2222
由已知得a－b＝c－d， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2， ∴e·(c－d)＝0.
????????????∵BC＝BD＋DC＝d－c，
????????∴AD·BC＝e·(d－c)＝0.
????????∴AD⊥BC，
∴AD⊥BC．
→→→→→→
9．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．
→→→→
所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42. 故所求的两条对角线长分别为42，210.
→→→
(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)． →→→
由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.
1111
化简得5t＝－11，解得t＝－，即t的值为－.
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