ak?1的子集分别记为A1,A2,???,A2k，S的含ak?1的子集分别记为B1,B2,???,B2k,使得对于
1?i?2k，有 Bi?Ai?{ak?1}.
现对于满足0?N?2k?1的N，若0?N?2，则用归纳假设将A中的N1,A2,???,A2kk个子集染成白色，其余的子集染成黑色，使其满足题中条件（1），（2），然后将B1,B2,???,B2k全染成黑色，这种染色方式恰有N个白子集，并且任意两个白子集的并集仍为白子集，任
意两个黑子集的并集仍为黑子集. 若2?1?N?2kkk?1，设N?2k?r,1?r?2k,则用归纳假设将A中的r1,A2,???,A2k个染成白色，其余2?r个染成黑色，使其满足条件（1）和（2），然后再将B1,B2,???,B2k全部染成白色.这种染色方式共有r?2?N个白子集，并且任意两个白子集的并集仍为白子集，任意两个黑子集的并集仍为黑子集.
综上可知，命题对一切n均成立.特别对n?2010也成立.
例6 证明：任意正的真分数
km都可以表示成不同的正整数的倒数之和. n证 我们对m(?n)进行归纳. 当m?1时，结论成立.
假设对于m?k的正整数都成立，那么对于m?k和任意n?k，若kn，则
k1?， nnk结论成立.若k不整除n，设n?qk?r,q为正整数，0?r?k,则有
kkqn?r1r????. nnqnqqnq由归纳假设知，
r111???????, nn1n2nsk1111????????, nqqn1qn2qns其中1?n1?n2?????ns是互不相等的正整数，所以 其中q?qn1?qn2?????qns，所以命题成立.
例7 、设有2(n?1)个球，把它们分为若干堆.我们可以任意选甲、乙两堆按照如下规则
n 6
移动：若甲堆的球数m1不少于乙堆的球数m2，则从甲堆拿m2个球放到乙堆中去，这样算挪动一次.证明可以经过有限次挪动把所有球合并成一堆.
证明 n?1时，2个球分成堆有2种可能：一堆2个；二堆，一堆1个.结论显然成立.
今假设n=k时结论成立.即2个球的任意分成若干堆，总可以通过有限次移动把它们合成一堆.那么对于2k?1k个球分成若干堆，注意到总球数是2的数倍，依各堆球的个数被2
除后的余数不同而将球堆分为2类:第一类由其所含球数是2的倍数的球堆组成；第二类由其所含球数是2的倍数加1的球堆组成；设第二类共有s堆，则我们断言s为偶数，否则与总球数是2的倍数矛盾。
依下述方式进行:将第二类球堆，2堆一组分成若干组后，每组的2堆之间进行一次移动后它们同时变成第一类球堆. 于是，我们通过有限次移动把所有球堆都变成了第一类，即每堆的球数为偶数.把每堆中的球2个球包在一起作为一个球看待，即得到2个“包”球，从而可应用归纳假定，故结论成立.
习题1
1.设自然数n?3，证明可以将一个正三角形划分为n个等腰三角形.
2.证明：对任意正整数n?3，都存在一个完全立方数，它可以表示为n个正整数的立方. 等.
4.如果A,2,???,n,那么 1?A2?????An??,0?Ai??,i?1ksinA1?sinA2?????sinAn?nsin
?n.
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