2.3 圆周运动的实例分析
主要内容
圆周运动的习题
重点和难点
对圆周运动的动力学分析
重、难点分析
1、处理有关圆周运动问题的步骤 ⅰ、确定研究对象；
ⅱ、确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ⅲ、对研究对象进行受力分析；
ⅳ、在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解；
Ⅴ、依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程，解方程，并讨论解的合理性。
2．一般竖直面内的圆周运动
物体所受的合外力除了具有与速度垂直的法向力以外，还有与速度平行的切向力，那么物体的速度不仅方向变化，大小也会变化。对此，高考只要求解决在最高点和最低点这两个
特殊位置上的动力学问题。关系式或ω而已。
3．竖直平面内圆周运动的临界问题
依然适用，只是不同位置对应不同的v
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。
如图所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件
是：向心力只由重力提供，即 只有当
，则有临界速度。
时，小球才能通过最高点。
用心 爱心 专心 1
如图所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，因此小球在最高点的最小速度为零。这样向变化的临界值，即 当v＜ 当 当v＞
时，小球受向上的弹力； 时，球和杆之间无相互作用力； 时，球受向下的弹力。
就变成了小球所受弹力方
可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。 例题分析
1. 如图所示，用细绳一端系着质量为0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另
一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m，若A与转盘间的最大静摩擦力为2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。（g＝10m/s）
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用心 爱心 专心
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分析：要使B静止，A必须相对于转盘静止，即具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供。当ω变化时，小球A有两种运动趋势。 解答：（1）当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，转盘平面对A的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对A有： 且 解得
rad/s
（2）当ω为所求范围的最大值时，A有向远离圆心运动的趋势，转盘平面对A的静摩擦力方向指向圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对A有： 且 解得
rad/s
故所求ω的范围为2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s 说明：
1、本题属于连接体问题，要首先分析清楚各物体分别做什么运动，受力各满足什么条件。
2、本题中A物体所受静摩擦力变化复杂，因而使A物体所受向心力变化复杂。但无论怎样变化，向心力的大小总等于指向圆心力的大小减去背离圆心力的大小。 3、求解有关范围问题的基本方法是分析两个临界状态，从而确定变化范围。
2、质量为m、半径忽略不计的小球A通过轻质拉线与竖直轴OO′相连，球A在水
平面上绕轴做半径为L0、角速度为ω0的匀速圆周运动，如图所示。现用原长亦为L0，劲度
系数k恰好满足的轻质弹簧来代替上述这段水平拉线，要求保持拉力大小不变，仍
然让小球A在水平面上绕竖直轴做匀速圆周运动，假设弹簧的弹性未受破坏，求改用弹簧连接时轴OO′转动的角速度ω应变为多大？
用心 爱心 专心 3
分析：本题考查匀速圆周运动的动力学关系。 解：小球A同轻质拉线提供向心力时，有： F1=
由弹簧提供向心力时有：
得：x=
本题另有特殊条件F1＝F2，得：
说明：
常见错误：轻质弹簧拉着物体做匀速圆周运动时，将弹簧的形变量x当成半径。
3、轻质杠杆长为L＝1.0m，两端各焊有一个质量为m＝1.0kg的小球A、B，在距
A端L/4处安装一个水平转轴O，使杠杆竖直地挂在轴O上处于静止状态，如图所示。今用榔头使球A获得一定的水平速度vA，求当杠杆仍在竖直位置时，（1）vA=1.0m/s；（2）vA=2.0m/s时，轴O所受的力（取g＝10m/s）
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分析：本题考查圆周运动的动力学问题，轴受力问题
解：当A获得速度vA时，B同样具有速度vB，二者角速度相等，所以有：vA:vB=ROA: ROB=1:3 分别对A、B受力如图所示：
用心 爱心 专心 4
设N1向上，由A得：
由B得：
得N1＝
得N2＝
（1）当vA=1m/s，N1＝6N，杆对A是向上推力 N2=22N，杆对B是向上拉力
N1、N2反作用力N1′=-6N，N2′＝－22N，
则轴O受力为：F＝N1′＋N2′＝－28N，负号表示向下压轴。 （2）当vA=2m/s，N1＝－6N，杆对A是向下拉力 N2＝＋58N，杆对B是向上拉力，
同上可得：F＝N1′＋N2′＝6－58＝－52（N），向下压轴 说明：
常见两种错误：（1）只考虑A的速度，没考虑B的速度，认为B静止，则N2=mg；（2）将A、B球受到的杆的作用力与杆受到球的反作用力弄混。 针对训练
1. 质量为m的物体系在弹簧的一端，弹簧的另一端固定在转轴上。弹簧的自由长度为L0，劲度系数为k。使物体在光滑水平支持面上以角速度ω做匀速圆周运动，则此时弹簧的长度为___________。
2. 汽车沿半径为R的圆跑道行驶，跑道的路面是水平的，路面作用于车轮的横向摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致于冲出圆跑道，车速最大不能超过___________。
3. 如图所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R，在转台边缘放一
用心 爱心 专心
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