3.2 导数的概念及其几何意义
变化率问题
1.平均变化率：已知函数y=f(x)，令Δx=x2?x1，y?f(x2)?f(x1)，则当x?0时，比值
yf(x2)?f(x1)=，称作函数f(x)从x1到x2得平均变化率. xx2?x12.瞬时速度：物体在某一时刻的速度. 3.求自变量的增量Δx=x?x0，
函数的增量y?y?y0?f(x)?f(x0)?f(x?x)?f(x0) 4.求平均变化率
?yf(x0??x)?f(x0)?，要注意Δx、y的值可正、可负，但?x?xx?0，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则y=0
导数的概念
1.导数：一般地，函数y=f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limlim?x?0f(x0??x)?f(x0)=
?x?yx?x0.我们称它为函数y=f(x)在处的导数，记作f′(x0)或f′(x0)，即
?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f′(x0)=lim.
?x?0?x2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的该变量，所以Δx可正可负，但x?0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.
3.求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (1)求函数y=f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率
?yf(x0??x)?f(x0)?; ?x?x?y.
?x?0?x(3)取极限，得函数f′(x0)=lim导数的几何意义
1.导数的几何意义
k=tanα=f′(x0)
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). 切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0). 2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法： ①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0). ②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.
3.导数与切线的关系.
①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角. ②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角. ③f′(x0)=0，切线与x轴平行. ④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.