选修4-4 第2节
[知能演练]
一、选择题
?x＝t
1．与参数方程为?(t为参数)等价的普通方程为
?y＝21－t
( )
A．x2
＋y2
4
＝1
．x2
＋y2
B4
＝1(0≤x≤1)
．x2
＋y2
C4
＝1(0≤y≤2)
D．x2
＋y2
4
＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
解析：x2
＝t，y24＝1－t＝1－x2，x2
＋y24
＝1，而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤y≤2.
答案：D
2．若曲线C的参数方程为???x＝1＋cos2θ
??
y＝sin2
θ
(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是( A．直线x＋2y－2＝0 B．以(2,0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)． 答案：D
3．直线???x＝－2＋t
?1－t
(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为
?y＝( A.98 B．401
4 C.82
D.93＋43
??x＝－?x＝－2＋2t×2
解析：?
2＋t???
y＝1－t
?
2?y＝1－2t×2
2
) )
??x＝－2＋t把直线?代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25得(－5＋t)2＋(2－t)2＝25，t2－7t＋2＝0
?y＝1－t?
|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝41， 弦长为2|t1－t2|＝82. 答案：C 二、填空题
??x＝1＋cosθ，?4．圆C：(θ为参数)的普通方程为________，设O为坐标原点，点M(x0，?y＝sinθ?
y0)在C上运动，点P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________．
??x－1＝cosθ，
答案：∵?
?y＝sinθ，?
∴(x－1)2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1. ∴普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
M点的坐标可以设为M(1＋cosθ，sinθ)，
??2x－1＝cosθ，1＋cosθsinθ
则P(，)，即?
22?2y＝sinθ，?
∴(2x－1)2＋(2y)2＝cos2θ＋sin2θ＝1. 11
∴点P的轨迹方程为(x－)2＋y2＝.
2411
答案：(x－1)2＋y2＝1 (x－)2＋y2＝
24
?x＝1＋tsinα，?π
5．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，其中实数α的范围是(0，)，
2??y＝－2＋tcosα
则直线l的倾斜角是________．
解析：首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α
?x＝1＋tcos?2－α?，
的范围得出直线的倾斜角．直线l的参数方程可以化为?π
y＝－2＋tsin?－α??2
π
所以根据方程可知直线的倾斜角是－α.
2
π
答案：：－α
2
x＝2＋3cotφ，??
6．双曲线?(φ为参数)的渐近线方程为________． 1
y＝??sinφ
π
(t为参数)，
?x－2?2
解析：双曲线的普通方程为y－＝1，双曲线的中心在(2,0)，焦点在直线x＝2上．
9
2
又a＝1，b＝3，
1
∴渐近线方程为y＝±(x－2)．
31
答案：y＝±(x－2)
3三、解答题
?x＝3sin2θ，?
7．将参数方程?(θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线．
?y＝4cos2θ?
x
解：y＝4cos2θ＝4－8sin2θ，由x＝3sin2θ，得sin2θ＝. 38
∴y＝4－x，即8x＋3y－12＝0.
3
∵x＝3sin2θ∈[0,3]，∴所求普通方程为8x＋3y－12＝0(x∈[0,3])，它表示一条线段．
?x＝2cosθ
8．已知圆锥曲线?(θ是参数)和定点A(0，3)，F1、F2是圆锥曲线的左、右
?y＝3sinθ
焦点．
(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
?x＝2cosθx2y2解：(1)圆锥曲线?化为普通方程是＋＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直
43?y＝3sinθ
0－33
线AF2的斜率k＝＝－3，于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，31－0
??x＝－1＋tcos30°
直线l的倾斜角是30°，所以直线l的参数方程是?(t为参数)，
?y＝0＋tsin30°?
?x＝23t－1
即?1
y＝?2t
(t为参数)．
0－3(2)解法一：直线AF2的斜率k＝＝－3，倾斜角是120°，设P(ρ，θ)是直线AF2
1－0上任一点，
ρ1
则根据正弦定理得＝，
sin60°sin?120°－θ?即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsinθ＋3ρcosθ＝3.
解法二：直线AF2的直角坐标方程是y＝－3(x－1)，
??x＝ρcosθ将?代入得直线AF2的极坐标方程： ?y＝ρsinθ?
ρsinθ＝－3ρcosθ＋3，即ρsinθ＋3ρcosθ＝3. [高考·模拟·预测]
??x＝1＋t，1．设直线l1的参数方程为?(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与
?y＝1＋3t?
l2间的距离为________．
解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2，在|0＋2＋4|310
l1上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，即d＝＝.
510
310答案： 5
???x＝1－2t，?x＝s，?2．若直线l1：(t为参数)与直线l2：?(s为参数)垂直，则k＝?y＝2＋kt.?y＝1－2s??
________.
??x＝1－2t，k
解析：l1：?(t为参数)化为普通方程为y－2＝－(x－1)，
2?y＝2＋kt??x＝s，?
l2：?(s为参数)化为普通方程为y－1＝－2x，∵l1⊥l2，
??y＝1－2s
k∴－·(－2)＝－1，k＝－1.
2答案：－1
3．已知曲线C的参数方程为
?x＝t－t，?1y＝3?t＋??t
1
(t为参数，t>0)．
求曲线C的普通方程．
11y解：因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，
tt3故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.
?x＝cosθ，?
4．坐标系与参数方程已知曲线C1：?(θ为参数)，
?y＝sinθ?
?x＝22t－
曲线C：?
2y＝?2t2
2，
(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数．
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′.写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解：(1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0,0)，半径r＝1. C2的普通方程为x－y＋2＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋2＝0的距离为1，等于半径r，所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为 x＝cosθ，??
C1′：?1(θ为参数)，
y＝sinθ??2
?x＝22t－C′：?
2y＝?4t
2
2，
(t为参数)．
12
化为普通方程为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，
22联立消元得2x2＋22x＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．