2007年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）
考试时间：150分
一、 填空：（本题15分，每空3分） 1、
设函数
sinxf(x)??0sin(at2)dt,g(x)?x3?x4,且当x?0时，f(x)与g(x)是等价无
穷小，则a2、 3、
设函数
?_______.
y?x2x在x?x0点取得极小值，则x0?______.
???1dx?______. 2x(x?1)?4、
对数螺线?设函数z?e?在点(?,?)?(e2,)处切线的直角坐标方程为______. 22x?3z?5、
?z(x,y)由方程2y?z?e?z?z??______. 所确定，则3?x?y二、 选择题（本题15分，每小题3分）
1、设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）
(A)
?x0t[f(t)?f(?t)]dt; (B)
?0x0t[f(t)?f(?t)]dt;
(C)
?x0f(t)dt; (D)
2?x[f(t)]2dt.
2、设函数f(x)具有一阶导数，下列结论正确的是（ ） (A) 若f(x)只有一个零点，则f?(x)必至少有两个零点； (B) 若f?(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点； (C) 若f(x)没有零点，则f?(x)至少有一个零点； (D) 若f?(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点.
3、设函数f(x)在区间(0,??)具有二阶导数，满足f(0)?0,f??(x)?0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有（ ）
(A) af(x)?xf(a); (B) bf(x)?xf(b); (C) xf(x)?bf(b); (D) xf(x)?af(a). 4、考虑二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的下面四条性质：
①连续； ②可微； ③fx?(x0,y0)与fy?(x0,y0)存在； ④fx?(x,y与. )fy?(x,y连续) 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）
(A) ②?③?①； (B) ④?②?①； (C) ②?④?①； (D) ④?③?②. 5、设D?{(x,y)x?a,y?a},常数a?0,??0,则二重积分??(eD?sinx?e??siny)d?的值（ ）
(A) 为正； (B) 为零； (C) 为负； (D) 当??0时为正，当??0时为负. 三、已知曲线y?f(x)与曲线
y??arctanx0edt在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求
?t22limnf().（本题6分） 极限n??n?2四、设f?(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(0)?1，计算?2?[f(cosx)cosx?f?(cosx)sinx]dx.（本题6
?2分）
)（本题7分） 五、设f(x)?xsin2x,求f(n)(0) (n?3.
2六、设当0?x?1时，f(x)?x(1?x),且f(x?1)?af(x),试确定常数a的值，使f(x)在x?0点处
2可导，并求此导数. （本题7分） 七、证明：当x?2时，(x?2)ex?22?xex?2e?2?0.（本题7分）
八、设f(x,y)?max{x,y},D?{(x,y)0?x?1,0?y?1},计算I?D??Df(x,y)y?x2d?.（本
题7分）
九、求抛物线弧段x?y?a，(a?0)上一点(?,?)，使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成的
图形面积最小，并求此最小面积. （本题8分）
十、设函数f(x,y)?x?y?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：f(x,y)在点
(0,0)处可微的充要条件是?(x,y)?0.（本题8分）
十一、设函数f(x)在区间(0,??)内有定义，且对任意x,y?(0,??)都有f(xy)?f(x)?f(y)，又
f?(1)存在且等于a，试讨论f(x)在任意x?(0,??)时的可导性，并求f?(x).（本题7分）
十二、设p(x)在闭区间[a,b]上为非负连续函数，f(x)与g(x)在[a,b]上连续且有相同的单调性，
D?{(x,y)a?x?b,a?y?b},证明：??p(x)f(x)p(y)g(y)dxdy???p(x)f(y)p(y)g(y)dxdy
DD（本题7分）