2009年全国中考数学压轴题精选精析（上海）
1.（2009年上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
，AB?2，BC?3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足已知?ABC?90°8所示）．
（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长；
PQAD?（如图PCABS△APQ3（2）在图8中，联结AP．当AD?，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，?y，其中S△APQ表
2S△PBC示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．
A
Q
（2009年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h， 则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得： Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条
。
P D A
P
D A
P D
图8
C
（Q） B
C
图9
B
B Q
图10
C 2
件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点， 则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90
A D A
P
P Q B
图8
C
（Q） B
C
图9
Q B
图10
D
A
D
。
P C