石 家 庄 铁 道 学 院 2007级硕士研究生考试试卷 课程名称 计算方法 任课教师 王亚红 2007 年— 2008 年度第 I 学期 姓名 学号 评分 时间 120分钟 题号 分值 得分 一 30 二 22 三 22 四 18 五 8 合计 100 一 填空 (30分) ?10?1．A???2?3?? ，则A?? ,?(A)? . ??若A为正交阵,则Cond(A)2? = 2．f(x)?5x3?3x2?2,则f20,21,22,23? ?123??6????11?,第一次选的列主元2453．用Gauss列主元消去法解方程组???????356????14??为 .迭代x(k?1)?Bx(k)?g收敛充要条件是 ???x3?x20?x?14. S(x)??3是以0，1，2为节点的三次样条函数，2?2x?ax?bx?11?x?2则a? ,b?5设f(x)?x,取h?0.1，用中点公式计算f'(2)? (取6位小数) 6使求积公式?f(x)dx?A?1f(?1)?A0f(0)?A1f(1)至少具有2次的代数精?11度，则A?1?A1?ba,A0?nk?0 n7．插值型的求积公式?f(x)dx??Akf(xk)的求积系数之和?Ak? k?08．写出用牛迭代法求方程x2?7的正根7的迭代公式 ?223??7?????二（22分）请用LU分解解方程组方程组?477?x??18? ??245??7?????1.用LU分解解此方程组； 2.写出Jacobi迭代法Gauss-Seidel解此方程组的计算公式;
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三（22分）已知数据 x y 0 2 3 5 1 3 2 6 1. 请作出差商表，求三次牛顿均差插值多项式；近似计算y(1.5)； 2. 试用y?ax?b拟和这组数据。 四（18分）设L2(x)是对f(x)的二次插值多项式，插值节点0,h,2h, 1．用L2(x)导出I??3h0f(x)dx的插值型求积公式Ih 32．用泰勒展开证明I?Ih?h4f'''(0)?O(h5) 8 五（8分）写出向量范数的定义；设x?(1,2,?,n)T,x的2-范数是什么？
参考答案及评分标准
一.(1-7题 2分/空;8题 4分)
1. 5,3,1 2. 5 3. 3 ?(B)?1 4. -2，3
2xk?7?xk?,k?0,1,...
2xk5. 0.35366…6. 1/3，1/3，4/3 7. b-a 8.xk?1 2
?223??1??223???????A?477?2131二1.(14分).解:???????LU-------9分
??245???121??6???????解Ly=b得y=（7，4，6），------------------------------------ ----------12分 解Ux=y得x=（1，1，1）------------------------------ ----------------14分 2.(8分) Jacobi迭代法计算公式:初始向量x(0)
(k)(k)?x1(k?1)?(7?2x2?3x3)/2?(k?1)(k)?(18?4x1(k)?7x3)/7, k?0,1,2,? ?x2?x(k?1)?(7?2x(k)?4x(k))/512?3 ------------------------------4分 Gauss-Seideli迭代法计算公式:初始向量x(0)
(k)(k)?x1(k?1)?(7?2x2?3x3)/2?(k?1)(k)?(18?4x1(k?1)?7x3)/7, k?0,1,2,? ?x2?x(k?1)?(7?2x(k?1)?4x(k?1))/512?3 ---------------------------------8分
三.1.(12分)差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 2 3 5 1 3 2 6 1 -1 2 -2/3 1 1/3 -----------------------------------7分
N3(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?f[x0,x1,x2,x3](x?x0)(x?x1)(x?x2)
3
=1+x-2/3x(x-2)+1/3x(x-2)(x-3) --------------------10分
y(1.5)≈N3(x)=3.375 ----------------------12分 2.(10分)根据最小二乘原理I??((axi?b)?yi)2最小，----2分
i?03??I?0???b有? ??I?0???a?4即???xi??x?xi2i??b???yi?????????a???yx?----------------------8分
ii??????410??b??12?即??1038????a?????42??，解得b=9/13，a=12/13 ??????拟合曲线y?12/13x?9/13 ----------------------10分 四.1.(10分)解：L2(x)?f(0)(x?h)(x?2h)(x?0)(x?h)?f(h)
(0?h)(0?2h)(h?0)(h?2h)+f(2h)3h(x?0)(x?h)-------------------------------------------------------6分
(2h?0)(2h?h)3hI??f(x)dx??L2(x)dx00
----------------------------10分
?........?(3/4f(0)?9/4f(2h))h9h2.(8分)证明：I?Ih??f(x)dx?3 4hf(0)?4f(2h)03h =?[f(0)?f'(0)x?03hf\(0)2!x2?f'''(0)3!x3?O(x4)]dx?34hf(0)
+94h[f(0)?f'(0)2h?
f\(0)2!4h?2f\'(0)3!8h3?O(h4)--------------4分
4
3=…计算=h4f\(0)?O(h5)----------------------------------8分
8五.(8分)向量范数的定义:
?x?Rn,对应一个非负数x满足:
1. x?0,当且仅当x?0时等号成立;-----------------------------3分 2.kx?kx
3.x?y?x?y------------------------------------------- 6分
nx2?(?i2)1/2----------------------------------------------8分
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