向量法证明三点共线的又一方法及应用
蒋李萍 2011年10月24日
平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.
????????????原题 已知OB?λOA?μOC，其中λ?μ?1. 求证：A、B、C三点共线 ????????思路：通过向量共线(如AB?kAC)得三点共线.
证明：如图,由λ?μ?1得λ?1?μ,则
C????????????????????OB?λOA?μOC?(1?μ)OA?μOC ?????????????????OB?OA?μ(OC?OA)
BA?????????AB?μAC
O?A、B、C三点共线.
思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；
2. 反之也成立（证明略）：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满
????????????足OB?λOA?μOC,且λ?μ?1.揭示了三点共线的又一个性质；
????1????????????13. 特别地，λ?μ?时，OB?(OA?OC)，点B为AC的中点，揭示了
22中线OB的一个向量公式，应用广泛.
应用举例：
例1 如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN?量法证明：M、N、C三点共线.
思路分析：选择点B，只须证明BN?λBM?μBC,且λ?μ?1.
?OAC
1BD. 利用向3?????????????????????????1证明：由已知BD?BA?BC，又点N在BD上，且BN?BD，得
3????1????1????????1????1????DBN?BD?(BA?BC)?BA?BC
3333又点M是AB的中点， ?????1??????????????BM?BA，即BA?2BM
2????2?????1????A?BN?BM?BC
3321而??1 33?M、N、C三点共线.
??????????点评：证明过程比证明MN?mMC简洁.
CNMB
例2如图，平行四边形OACB中，BD?11BC，OD与AB相交于E，求证：. BE?BA. 34????1????DB思路分析：可以借助向量知识，只须证明：BE?BA，而
4E????????????BA?BO?BC，又O、D、E三点共线，存在唯一实数对λ、μ，
C????????????????????且λ?μ?1，使BE?λBO?μBD，从而得到BE与BA的关系.
????????????证明：由已知条件，BA?BO?BC，又B、E、A三点共
OA????????线，可设BE?kBA，则
????????????BE?kBO?kBC①
????????????又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BE?λBO?μBD，且λ?μ?1.
????1????又BD?BC
3????????1?????BE?λBO?μBC3根据①、②得
②
1?k???k?λ4??11??λ?，解得 k?μ??43??3???λ?μ?1μ??4?????1?????BE?BA
41?BE?BA
4点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁. 练习题：