定点、定直线、定值专题
1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
x2y2【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)
abx2y2?1. a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3??432?y?kx?m? (II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，
?1??3?4??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0.
8mk4(m2?3)?x1?x2??,x1?x2?.223?4k3?4k3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?.
3?4k222以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD?kBD??1，?(最好是用向量点乘来)y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，
y1y?2??1， x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0，
3?4k23?4k23?4k27m2?16mk?4k2?0，解得m1??2k,m2??2k22，且满足3?4k?m?0. 7当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
2k22时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0). 7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).
7当m??2、已知椭圆C的离心率e?3，长轴的左右端点分别为A1??2,0?，A2?2,0?。（Ⅰ）求椭圆C的方程；2（Ⅱ）设直线x?my?1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
x2y2解法一：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?。 …………………
ab∵a?2，e?c3?，∴c?3，b2?a2?c2?1。 a21分
……………… 4分
x2∴椭圆C的方程为2?y2?1。 ……………………………………… 5分
4?333??3?x?, （Ⅱ）取m?0,得P?，直线A1P的方程是y?1,,Q1,?????2???632????直线A2Q的方程是y?3x?3,交点为S14,3. …………7分, 2???3??3?S4,?3. 若P?1,?,Q1,?????2??，由对称性可知交点为22??????若点S在同一条直线上，则直线只能为:x?4。…………………8分
?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上，由?4得
?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0，
9分
???2m?3。………… ,yy?12m2?4m2?4yy16y1,得y0?. 设A1P与交于点S0(4,y0),由0?4?2x1?2x1?2记P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则y1?y2?设A2Q与交于点S0?(4,y0?),由
2y2y0?y2.……… 10 ?,得y0??x2?24?2x2?2y0?y0??6y?my2?1??2y2?my1?3?4my1y2?6?y1?y2?6y12y2??1? x1?2x2?2x?2x?2x?2x?2?1??2??1??2??12m?12m?22m?4m?4?0，……12分 ??x1?2??x2?2?∴y0?y0?，即S0与S0?重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x?4上。 13分
?333??3?x?,直线A2Q的方程是A1P的方程是y?解法二：（Ⅱ）取m?0,得P?，直线1,,Q1,?????2???632????3x?3,交点为S14,3. ………………………………………… 7分 2111?83?取m?1,得P?,?,Q?0,?1?，直线A1P的方程是y?x?,直线A2Q的方程是y?x?1,交点为S2?4,1?.632?55?y???∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x?4。 ……………8分
?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上，由?4得
?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即
?m2?4?y2?2my?3?0，记
P?1x?1?,?y2，,2则Qx?2m?3。………………9分 ,yy?212m2?4m2?4y1yyyA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?,消去y,得1?x?2??2?x?2?…
x1?2x2?2x1?2x2?2y1?y?
①以下用分析法证明x?4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明
②
6y12y2?,即证x1?2x2?23y1?my2?13即证,2my1y2?3?y1?y2?.……………… ??y2?my1??∵
2my1y?3?y?y???6m?6mS:x?4上。这说明，当m变化时， ??20,∴②式恒成立。1点恒在定直线22m?4m?42?x22??y?12解法三：（Ⅱ）由?4得?my?1??4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0。
?x?my?1???记P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则y1?y2??2m?3。…………… ,yy?12m2?4m2?4y1yA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?, ……
x1?2x2?2
6分 7分
y1?y??x?2?,?x?2yy2?1由?得1?x?2???x?2?, …………………
x?2x?2y122?y?x?2?,??x2?2?即x?29分
y2?x1?2??y1?x2?2?y?my1?3??y1?my2?1?2my1y2?3y2?y1?2?22
3y2?y1y2?x1?2??y1?x2?2?y2?my1?3??y1?my2?1?2m?2?3??2m??3?y???y112m2?4m?4???4. ………………………………
??2m?3?2?y1??y1?m?4? 12分
这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x?4上。……………… 13分
3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
2为2?1，离心率为e?﹒
2 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点?1,0?作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MP?MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒
?a?c?2?1xy?解：（I）设椭圆E的方程为2?2?1,由已知得：?c 。。。。。2分 2ab??2?a?x2?a?2222?b?a?c?1?椭圆E的方程为?y2?1。。。。 3分 ??2c?1??（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则：
22MP?(x1?m,y1),MQ?(x2?m,y2),MP?MQ?(x1?m)?(x2?m)?y1y2。。。。 5分 ?x1x2?m(x1?x2)?m2?y1y2。
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y?k(x?1)，则 ?x22??y?1由?2得x2?2k2(x?1)2?2?0 ?y?k(x?1)?
4k22k2?2 7分 (2k?1)x?4kx?(2k?2)?0x1?x2?2,x1?x2?22k?12k?1k222 y1y2?k(x1?1)(x2?1)?k[x1x2?(x1?x2)?1]??22k?12k2?24k2k2(2m2?4m?1)k2?(m2?2)2所以MP?MQ?2 9分 ?m?2?m?2?2k?12k?12k?12k2?15对于任意的k值，MP?MQ为定值，所以2m2?4m?1?2(m2?2)，得m?，
457所以M(,0),MP?MQ??； 11分
4161②当直线l的斜率不存在时，直线l:x?1,x1?x2?2,x1x2?1,y1y2??
257由m?得MP?MQ??
4165综上述①②知，符合条件的点M存在，起坐标为(,0)﹒ 13分
4法二：假设存在点M(m,0)，又设P(x1,y1),Q(x2,y2),则：MP?(x1?m,y1),MQ?(x2?m,y2)
2222MP?MQ?(x1?m)?(x2?m)?y1y2=x1x2?m(x1?x2)?m2?y1y2…. ①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x?ty?1，
5分
?x22?2t?1??y?1由?2得(t2?2)y2?2ty?1?0?y1?y2?2 7分 ,y1?y2?2t?2t?2?x?ty?1??t2?2t2?t2?2?2t2?2 x1x2?(ty1?1)?(ty2?1)?t2y1y2?t(y1?y2)?1??2t2?2t?2?2t2?2t2?44 x1?x2?t(y1?y2)?2??22t?2t?2?2t2?24m1(m2?2)t2?2m2?4m?12 9分 ?MP?MQ?2?2?m?2?t?2t?2t?2t2?2(m2?2)t2?2m2?4m?1设MP?MQ??则??
t2?25?m?22222???(m?2)t?2m?4m?1??(t?2)5??m?2???04???M(,0) 11分 ??222274?(m?2??)t?2m?4m?1?2??0??2m?4m?1?2??0?????16?5②当直线l的斜率为0时，直线l:y?0，由M(,0)得：
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