应力强度因子数值计算方法综述
aa(1)(2)y?(2)(1)y??0v(x,a)dx???0v(x,a)dx
?0?????d?? ?2当?趋于0时，可以得到：
a??0(1)y?v(2)??1(1)dx?KI(a)KI(2)(a)?0 ?a8G其中： 已知量为：KI(2)、v(2)，即KIr、vr；
未知量为：KI(1)、?y，即KI、?y； 解得：
(1)8G1?vrKI???dx r?y??1KI0?a这个方法就被称为权函数法。
假设知道第1组载荷下的解，即k1，C11，C12?C21均为已知，则有
ak2?E?dC12?a?E?dC12E??u2 ??2k1?a?da2k1?a?da2k1?a??a求出了k1和k2，则可以求出人以载荷组合下的应力强度因子。
K?R??a?P?
对于一个特定的裂纹构型，只要知道该构型的任意一个解，则可以得到权函数：
**E?dC?E??u?k??*?*
2kda2k?a从而可以计算其他任何面力载荷t?和体力载荷f?下的应力强度因子：
tK??t?h?d???f?h?fdA
?At其中：h?和h?f 分别是面力和体力对应的权函数。
三、有限单元法
不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的.一些实验方法、解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与K密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.
应力强度因子数值计算方法综述
求解断裂力学问题的有限元法可分为： （1）常规单元法
利用常规单元法求解时，为了得到可靠的结果，裂纹尖端应力奇异性，必须细分网格，单元边长为裂纹长度的1/100~1/1000倍。 （2）奇异单元法
在裂纹尖端处可以用奇异单元建模。奇异单元的形函数具有r的-1/2奇异性，可以较好地模拟裂纹尖端应力奇异性。而且该方法不需细分网格，降低求解的自由度。 （3）杂交应力单元法
杂交应力单元法是基于H-R变分原理，可建立杂交应力单元。单元内部可以精确满足平衡方程和协调方程（用解析解描述位移场和应力场）。单元边界的位移采用节点位移插值，插值函数与常规单元的形函数相同，可以与常规有限单元匹配。而且该方法不需细分网格，降低求解的自由度。 （4）富集有限元法
该方法单元位移场中含有反映奇异性的插值函数，且无需后处理，直接得到应力强度因子。
（5）扩展有限元法。
常规位移场中叠加反映不连续面的函数：
并且裂纹与网格无关，不需网格细划，便于模拟裂纹扩展。
以有限元方法获得含裂纹体的应力场和位移场之后，可以采用断裂力学公式计算应力强度因子： （1）位移法
离裂尖不太远的裂纹表面位移：
v?KI??1rr(1??)
?22?a由于?未知，必须取两点的位移来推算：
应力强度因子数值计算方法综述
r2?v12?KI(1??1)?a??1r1KI(1??（2）应力法
裂纹延长线上离裂尖不太远处的应力为：
r22?v22?)?a??1r2 ?y?KIr(1??)
a2?r由于?未知，必须取两点的应力来推算：
r1)??y12?r1a
rKI(1??2)??y22?r2aKI(1??（3）J 积分法
利用J 积分的路径无关性可得：
Jx??(Wdy??ijnjui,xdl)ΓJy??(?Wdx??ijnjui,ydl)Γ
应力强度因子与J 积分的关系为：
KI?KII?四、加权残差法
E?(Jx?Jy?Jx?Jy)2E?(Jx?Jy?Jx?Jy)2
大量的应用科学和工程问题往往归结为根据一定的边界条件和初值条件等来解所谓定解微分方程式，加权残差法是一种数学方法, 它可以直接从微分方程式中求得近似的解。其方法须先假设一个称为试函数的近似函数, 引人微分方程式及边界条件, 自然由于满足不了而出现了误差, 称为残数。然后再选择一定的权函数与残差相乘要求它们于解的域内加以消灭, 于是得到了微分方程近似的解。
按权函数选择方案，加权残差法可分为： （1）配点法
选取权函数为：
应力强度因子数值计算方法综述
?? x?xiWi??(x?xi)?? i?1,2,?,N
?0 x?xi残差方程变为：
?VR(x)Wi(x)dV?R(xi)?0
配点法仅要求在选择的N个离散点上近似解精确满足方程，其他点上允许存在残差。 配点法是加权残差法中可能是最简单的一种。如何适当配点很有关系，于低级近似中似乎是配的点均匀些较好。在怎样配点及怎样处理配点值方法方面出现了好几种方法： a）最小二乘配点法所配的点可能较n为多。引入坐标点的残差乘方后求和再求其最小值。这种方法已发展到可以方便地使用数字电子计算机进行计算的地步。分为连续型及离散型二种。按照这种方法方便,迅速,准确, 通用,可用于复杂形状物体,程序简单。
b）边界配点法所配的点系在边界上，用于微分方程容易满足边界条件难满足的情况。 c）正交配点法方法以正交多项式作为试函数满足边界条件而以正交多项式的根去定所配的点。所用正交多项式大都是Legendre多项式。这个方法的特点是计算系统化, 适宜使用计算机进行,方便准确, 适用于解高次近似问题,可解微分方程初值问题包括非线性微分方程。 （2）子域法 选取权函数为：
?1 在子域Vi内Wi?? i?1,2,?,N
?0 在子域Vi外残差方程变为：
?ViR(x)dV?0
子域法是把域V分割成N个子域，在每个子域内近似解残差的算术平均值为零。 容易理解，若子域数目逐次增多则上面积分在愈来愈小的子域中得到满足可以到处近似地接近为零。 （3）迦辽金法
选取权函数为：
Wi?残差方程变为：
??u?ui i?1,2,?,N ?ai应力强度因子数值计算方法综述
?（4）最小二乘法
选取权函数为：
VR(x)uidV?0
迦辽金法使近似解残差与试验函数正交，残差方程有严格的物理意义。
Wi?残差方程变为：
?R i?1,2,?,N ?ai?VR(x)?RdV?0 ?ai 最小二乘法要求调整待定参数，使残差的均方和取最小，即：
min?(a1,a2,?,aN)??[R(x)]2dV
V 这个方法有时比较繁琐，但所得解得精度较高。 （5）矩量法
选取权函数为：
Wi?xi?1 i?1,2,?,N
残差方程变为：
?VR(x)xi?1dV?0 这个方法大都用于瞬时热传导问题，有时称为积分法。矩量法是将权函数取为幂函数，若取为其他完备函数序列，则称为广义矩量法。
按照所设立的试函数预先满足什么条件这点上还可分为三种方法（1）若试函数满足边界条件但不满足微分方程这种加权残差法称为内部法；（2）试函数满足微分方程而不满足边界条件, 这种方法称为边界法；（3）如果所假设的试函数既不满足微分方程又不满足边界条件, 就用了混合法。
综观加权残差法发展情况,这种数值计算法确有不少优点, 值得进一步研究发展。这种数值计算方法的优点是（1）原理的统一性——大量应用科学问题及工程问题往往归结为解微分方程式，只要问题的微分方程以及边界条件初值条件存在, 即能解题。并且不问学科内容如何, 解题方法可以统一起来。（2）不依赖于变分原理, 即使泛函不存在也能解题。 （3）计算误差可知，残差即误差可指令计算机打印出来。由于误差可知即可以检验试函数合适与否以及应该取多少试函数项得最好结果。其他数值计算方法无此优点。（4）计算方法,