所以当1?x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递增； 当x?1或x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递减．
所以函数f?x?的单调递增区间为?1,2?，单调递减区间为???,1?和?2,???．………4分
（2）方法1：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立， 即对于任意x??1,???都有?x2?ax?2?2(a?1)成立， 即对于任意x??1,???都有x?ax?2a?0成立，…………6分
2令h?x??x?ax?2a，
2要使对任意x??1,???都有h?x??0成立，
???0,??a必须满足??0 或 ??1,………………………………………………8分
?2??h?1??0.?a2?8a?0,??a2即a?8a?0 或 ??1,………………………………9分
2???1?a?0.所以实数a的取值范围为??1,8?．………………………10分 方法2：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立，
所以问题转化为，对于任意x??1,???都有?f'(x)?max?2(a?1)．………6分
aa?a2?因为f??x????x????2，其图象开口向下，对称轴为x?．
22?4?①当
2a?1时，即a?2时，f'?x?在?1,???上单调递减， 2所以f'?x?max?f'?1??a?3，
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由a?3?2?a?1?，得a??1，此时?1?a?2．………………7分 ②当
a?a??a??1时，即a?2时，f'?x?在?1,?上单调递增，在?,???上单调递减， 2?2??2?2所以f'?x??f'??a??2???amax4?2，
由a24?2?2?a?1?，得0?a?8，此时2?a?8．……8分 综上①②可得，实数a的取值范围为??1,8?．……………10分 （3）设点P??t,?1t3?a?32t2?2t???是函数y?f?x?图象上的切点， 则过点P的切线的斜率为k?f'?t???t2?at?2， 所以过点P的切线方程为y?1t3a3?2t2?2t???t2?at?2??x?t?．………11分因为点??0,?1???3?在切线上，
所以?13?13t3?a2t2?2t???t2?at?2??0?t?， 即23t3?12at2?13?0．……………12分 若过点??0,?1???3?可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，
则方程231213t?2at?3?0有三个不同的实数解．……………13分 令g?t??23t3?12at2?13，则函数y?g?t?与t轴有三个不同的交点．
令g??t??2t2?at?0，解得t?0或t?a2．
因为g?0??13，g??a??2????13124a?3， 所以必须g??a??2????124a3?13?0，即a?2． 所以实数a的取值范围为?2,???．……………14分
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x2y221．（本小题满分14分） 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F(?2,0),离心率
abe=
2,M、N是椭圆上的的动点。 2（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：OP?OM?2ON，直线OM与ON的斜率之积为?1，问：是否存2在定点F1,F2，使得PF1?PF2为定值？，若存在，求出F1,F2的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M,N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA
并延长交椭圆于点B，证明：MN?MB；
?c?2?21.解：（Ⅰ）由题设可知：?c2?a?2,c?2……………………………2分
??2?a 故b?a?c?2……………………………3分
222x2y2??1……………………………4分 故椭圆的标准方程为：42（Ⅱ）设P(xp,yP),M(x1,y1),N(x2,y2)，由OP?OM?2ON可得：
?xP?x1?2x2.............①……………………………5分 ??yP?y1?2y2由直线OM与ON的斜率之积为?1可得： 2y1y21?? ，即x1x2?2y1y2?0............②……………………………6分 x1x22222222 由①②可得：xP?2yP??x1?2x2??2?y1?2y2??(x1?2y1)?4(x2?2y2)
22 M、N是椭圆上，故x1?2y1?4,x2?2y2?4
22xPyP??1……………..8分 故x?2y?20，即
201022222P2P 由椭圆定义可知存在两个定点F使得动点P到两定点距离和为1(?10,0),F2(10,0)，
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定值45;……………………………….9分； （Ⅲ）设M(x1,y1),B(x2,y2)
由题设可知x1?0,y1?0,x2?0,y2?0,x1?x2,A(x1,0),N(?x1,?y1)……10分 由题设可知lAB斜率存在且满足kNA?kNB?y1y?y?21………….③ 2x1x2?x1 kMN?kMB?1?y1y2?y1??1.........④…………………12分 x1x2?x1 将③代入④可得：
222(y2?y1)y2?y1(x2?2y2)?(x12?2y12)……⑤……13分 kMN?kMB?1???1?22x2?x1x2?x1x2?x1x2y2??1，故 点M,B在椭圆4222(x2?2y2)?(x12?2y12)4?4kMN?kMB?1???0 2222x2?x1x2?x1所以kMN?kMB?1?0?kMN?kMB??1?MN?MB…………14分
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